Editing Schrödingergleichung mit äußeren Potenzialen (section)

====Das Elektron im elektromagnetischen Feld====

Die Klassische Lagrangefunktion lautet: <math>L(\bar{q},\dot{\bar{q}},t)=T-V=\frac{m}{2}{{\dot{q}}^{2}}+e\left[ \dot{\bar{q}}\cdot \bar{A}(\bar{q},t)-\Phi (\bar{q},t) \right]</math>
Das elektrische Feld lautet:
:<math>\bar{E}=-\nabla \Phi (\bar{q},t)-\dot{\bar{A}}(\bar{q},t)</math> elektrisches Feld mit dem skalaren Potenzial <math>\Phi (\bar{q},t)</math>
Das magnetische :
:<math>\bar{B}=\nabla x\bar{A}(\bar{q},t)</math>magnetische Induktion mit dem Vektorpotenzial <math>\bar{A}(\bar{q},t)</math>
und mit der Ladung e<0 im mks- System! (SI- Einheiten)
Die klassische Hamiltonfunktion finden wir über die kanonisch konjugierten Impulse:
:<math>\begin{align}
& {{p}_{i}}=\frac{\partial L(\bar{q},\dot{\bar{q}},t)}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}=m{{{\dot{q}}}_{i}}+e{{A}_{i}}(\bar{q},t) \\
& \Leftrightarrow \dot{\bar{q}}=\frac{1}{m}\left( \bar{p}-e\bar{A} \right) \\
\end{align}</math>
Dabei bezeichnet <math>\bar{p}-e\bar{A}</math>den kinetischen Impuls. <math>\bar{p}</math>ist der kanonische Impuls (eine zum Ort kanonisch konjugierte Variable, kanonisch konjugiert ↔ erfüllt Poissonklammerformalismus → ist für den Hamiltonformalismus geeignet!)

Es ergibt sich die klassische Hamiltonfunktion:
:<math>H(\bar{p},\bar{q})=\bar{p}\dot{\bar{q}}-L=T+V=\left( m\dot{\bar{q}}+e\bar{A} \right)\dot{\bar{q}}-\frac{m}{2}{{\dot{\bar{q}}}^{2}}-e\left( \dot{\bar{q}}\bar{A}-\Phi  \right)=\frac{m}{2}{{\dot{\bar{q}}}^{2}}+e\Phi =\frac{1}{2m}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+e\Phi </math>Also können wir auch hier analog den Hamiltonoperator finden:
:<math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}+e\Phi (\hat{\bar{r}},t)=\frac{1}{2m}{{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}+e\Phi (\hat{\bar{r}},t)</math>
Wir identifizieren:
:<math>e\Phi (\hat{\bar{r}},t)=V(\bar{r},t)</math>
Dies ist ein schönes Ergebnis, weil eben, wie in der klassischen Hamiltonfunktion die Kräfte als Gradienten der Potenziale folgen:
:<math>\begin{align}
& {{{\bar{F}}}_{el.}}=-e\nabla \Phi (\hat{\bar{r}},t) \\
& {{{\bar{F}}}_{mag.}}(Lorentz)=q\bar{v}\times \bar{B} \\
\end{align}</math>
Diese Gleichung gilt natürlich nur für nichtrelativistische Elektronen,. Die Potenziale <math>\Phi ,\bar{A}</math>werden von außen vorgegeben. und sind nicht quantisiert