Editing Operatoren im Hilbertraum (section)

====Energiedarstellung====
Sei in der Ortsdarstellung

:<math>\hat{H}=-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{{{d}^{2}}}{d{{x}^{2}}}+V(x)</math>der eindimensionale Hamiltonoperator

Dazu die Eigenfunktionen:

:<math>\hat{H}{{\phi }_{n}}(x)={{E}_{n}}{{\phi }_{n}}(x)</math>, n=0,1,2,...

Mit <math>{{\phi }_{n}}(x):=\left\langle  x | n \right\rangle </math>

:<math>\hat{H}\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right)\left\langle  x | n \right\rangle ={{E}_{n}}\left\langle  x | n \right\rangle </math>

Ergibt sich:

:<math>\int_{-\infty }^{\infty }{dx}\left| x \right\rangle \hat{H}\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right)\left\langle  x | n \right\rangle ={{E}_{n}}\left| n \right\rangle </math>

Mit dem darstellungsfreien Hamiltonoperator<math>\int_{-\infty }^{\infty }{dx}\left| x \right\rangle \hat{H}\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right)\left\langle  x \right|</math>

Die Orthonormierung verlangt:

:<math>\int_{-\infty }^{\infty }{dx}\phi {{*}_{m}}(x){{\phi }_{n}}(x)=\int_{-\infty }^{\infty }{dx}\left\langle  m | x \right\rangle \left\langle  x | n \right\rangle =\left\langle  m | n \right\rangle ={{\delta }_{mn}}</math>

Bei diskreten Eigenfunktionen.

Dies ist aber analog zur kontinuierlichen Darstellung:

:<math>\begin{align}

& \left\langle  {\bar{r}} | \bar{r}\acute{\ } \right\rangle =\delta (\bar{r}\acute{\ }-\bar{r}) \\

& \left\langle  \bar{p}\acute{\ } | {\bar{p}} \right\rangle =\delta (\bar{p}-\bar{p}\acute{\ }) \\

\end{align}</math>

Häufig (aber nicht immer!!) ist die Energiedarstellung VOLLSTÄNDIG (sie ist beispielsweise beim eindimensionalen harmonischen Oszi vollständig):

:<math>\begin{align}

& \left\langle  x | \Psi  \right\rangle =\Psi (x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}{{c}_{n}}{{\phi }_{n}}(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\left\langle  n | \Psi  \right\rangle \left\langle  x | n \right\rangle  \\

& \Rightarrow \sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\left| n \right\rangle \left\langle  n \right|=1\  \\

\end{align}</math>

Vollständigkeitsrelation!

Dann gilt auch die Spekteraldarstellung des Hamiltonoperators. Jedoch nur, wenn die Darstellung der zugehörigen Observable vollständig ist:

:<math>\hat{H}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{\hat{H}}}\left| n \right\rangle \left\langle  n \right|=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{E}_{n}}}\left| n \right\rangle \left\langle  n \right|</math>

Der Operator kann durch die Summe aller Koordinaten in den entsprechenden Eigenzuständen angegeben werden, wenn das System der Zustände eine vollständige Basis repräsentiert. (Und die Zustände Eigenzustände des Operators sind)

:<math>\left| n \right\rangle \left\langle  n \right|</math>ist dabei der Projektionsoperator auf den n. Eigenzustand.

'''Allgemein gilt:'''

Aus einer Quantenmechanischen Observable wird ein linearer Operator im Hilbertraum: <math>\hat{F}:H\to H</math>.

Bei reellen Observablen, besser: reellen Erwartungswerten der Observablen muss der zugehörige Operator nicht nur linear, sondern auch hermitesch sein

:<math>\begin{align}

& \hat{F}\left( {{\lambda }_{1}}\left| {{\psi }_{1}} \right\rangle +{{\lambda }_{2}}\left| {{\psi }_{2}} \right\rangle  \right)={{\lambda }_{1}}\hat{F}\left| {{\psi }_{1}} \right\rangle +{{\lambda }_{2}}\hat{F}\left| {{\psi }_{2}} \right\rangle  \\

& {{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}}\in C \\

\end{align}</math>

'''Definition:'''

Der zu <math>\hat{F}:H\to H</math>adjungierte Operator <math>{{\hat{F}}^{+}}</math>ist definiert durch:

:<math>\hat{F}\left| \Psi  \right\rangle =\left| \Phi  \right\rangle \Leftrightarrow \left\langle  \Psi  \right|{{\hat{F}}^{+}}=\left\langle  \Phi  \right|</math>

Adjungierte Operatoren wirken also nach links

In Klammer - und Integraldarstellung schaut dies folgendermaßen aus:

:<math>\left( {{\Psi }_{1}},\hat{F}{{\Psi }_{2}} \right)=\left( {{{\hat{F}}}^{+}}{{\Psi }_{1}},{{\Psi }_{2}} \right)\quad \forall {{\Psi }_{1}},{{\Psi }_{2}}\in H</math>

Integraldarstellung in Ortsdarstellung:

:<math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}{{\Psi }_{1}}*(\bar{r})\left( \hat{F}{{\Psi }_{2}}(\bar{r}) \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left( {{{\hat{F}}}^{+}}{{\Psi }_{1}}*(\bar{r}) \right)\left( {{\Psi }_{2}}(\bar{r}) \right)</math>

Def.: ein linearer Operator <math>\hat{F}</math>heißt selbstadjungiert (HERMITESCH), falls: <math>\hat{F}={{\hat{F}}^{+}}</math>

:<math>\left( {{\Psi }_{1}},\hat{F}{{\Psi }_{2}} \right)=\left( \hat{F}{{\Psi }_{1}},{{\Psi }_{2}} \right)\quad \forall {{\Psi }_{1}},{{\Psi }_{2}}\in H</math>

:<math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}{{\Psi }_{1}}*(\bar{r})\left( \hat{F}{{\Psi }_{2}}(\bar{r}) \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left( \hat{F}{{\Psi }_{1}}(\bar{r}) \right)*\left( {{\Psi }_{2}}(\bar{r}) \right)</math>

Die linearen Operatoren bilden eine Algebra. Dabei ist die Multiplikation definiert durch:

:<math>\left( \hat{F}\cdot \hat{G} \right)\left| \Psi  \right\rangle =\hat{F}\cdot \left( \hat{G}\left| \Psi  \right\rangle  \right)</math>

Mit dem Einheitsoperator 1:

:<math>1\cdot \hat{F}=\hat{F}\cdot 1=\hat{F}</math>

Nulloperator 0:

:<math>0\cdot \hat{F}=\hat{F}\cdot 0=0</math>

und dem Kommutator:

:<math>\left[ \hat{F},\hat{G} \right]:=\hat{F}\cdot \hat{G}-\hat{G}\cdot \hat{F}</math>

Es gilt, was als Übung bewiesen werden kann:

:<math>{{\left( \hat{F}\cdot \hat{G} \right)}^{+}}={{\hat{G}}^{+}}\cdot {{\hat{F}}^{+}}</math>

:<math>{{\hat{F}}^{++}}=\hat{F}</math>

Für zusammengesetzte Zustände:

:<math>\begin{align}

& \left| \Psi  \right\rangle ={{\lambda }_{1}}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle +{{\lambda }_{2}}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle  \\

& \Rightarrow \hat{F}\left( {{\lambda }_{1}}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle +{{\lambda }_{2}}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle  \right)={{\lambda }_{1}}\hat{F}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle +{{\lambda }_{2}}\hat{F}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle  \\

\end{align}</math>Linearität

und

:<math>\begin{align}

& \left| \Psi  \right\rangle ={{\lambda }_{1}}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle +{{\lambda }_{2}}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle  \\

& \Rightarrow \left\langle  \Psi  \right|{{{\hat{F}}}^{+}}={{\lambda }_{1}}*\left\langle  {{\Psi }_{1}} \right|{{{\hat{F}}}^{+}}+{{\lambda }_{2}}*\left\langle  {{\Psi }_{2}} \right|{{{\hat{F}}}^{+}} \\

\end{align}</math> Antilinearität

Das Skalarprodukt ist linear im 2. Faktor und antilinear im 1. Faktor!

Weitere Relationen:

:<math>{{\left[ \hat{F},\hat{G} \right]}^{+}}={{\hat{G}}^{+}}\cdot {{\hat{F}}^{+}}-{{\hat{F}}^{+}}\cdot {{\hat{G}}^{+}}=\left[ {{{\hat{G}}}^{+}},{{{\hat{F}}}^{+}} \right]</math>

Falls<math>\left[ \left[ \hat{F},\hat{G} \right],\hat{F} \right]=\left[ \left[ \hat{F},\hat{G} \right],\hat{G} \right]=0</math>gilt, so folgt:

:<math>\begin{align}

& {{e}^{{\hat{F}}}}{{e}^{{\hat{G}}}}={{e}^{{\hat{G}}}}{{e}^{{\hat{F}}}}{{e}^{\left[ \hat{F},\hat{G} \right]}} \\

& {{e}^{\hat{G}+\hat{F}}}={{e}^{{\hat{G}}}}{{e}^{{\hat{F}}}}{{e}^{-\tfrac{1}{2}\left[ \hat{G},\hat{F} \right]}} \\

\end{align}</math>

Außerdem:

:<math>\left[ \hat{F}\hat{G},\hat{H} \right]=\hat{F}\left[ \hat{G},\hat{H} \right]+\left[ \hat{F},\hat{H} \right]\hat{G}</math>

Sowie die Baker- Hausdorff- Identität:

:<math>{{e}^{{\hat{F}}}}\hat{G}{{e}^{-\hat{F}}}=\hat{G}+\left[ \hat{F},\hat{G} \right]+\frac{1}{2!}\left[ \hat{F},\left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right]+....</math> Mit <math>{{e}^{{\hat{F}}}}\equiv \sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{{{\left( {\hat{F}} \right)}^{n}}}{n!}}</math>

'''Matrixelemente'''

:<math>\left\langle  {{\Psi }_{1}} \right|\hat{F}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle </math>heißt Matrixelement von <math>\hat{F}</math>mit dem Bra<math>\left\langle  {{\Psi }_{1}} \right|</math>und dem Ket <math>\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle </math>

Mit

:<math>\begin{align}

& \hat{F}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle :=\left| \Phi  \right\rangle \Leftrightarrow \left\langle  {{\Psi }_{2}} \right|{{{\hat{F}}}^{+}}=\left\langle  \Phi  \right| \\

& \Rightarrow \left\langle  {{\Psi }_{1}} | \Phi  \right\rangle =\left\langle  \Phi  | {{\Psi }_{1}} \right\rangle *=\left\langle  {{\Psi }_{2}} \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle * \\

\end{align}</math>

Also:

:<math>\left\langle  {{\Psi }_{1}} \right|\hat{F}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\left\langle  {{\Psi }_{2}} \right|{{\hat{F}}^{+}}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle *</math>

Für hermitesche Operatoren gilt:

:<math>\left\langle  {{\Psi }_{1}} \right|\hat{F}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\left\langle  {{\Psi }_{2}} \right|\hat{F}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle *</math>