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Normalschwingungen
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==Anwendung auf die Lagrangefunktion== Zurück: :<math>\begin{align} & L=T-V=\frac{1}{2}\left( \sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}{{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}}-\sum\limits_{j,k}{{{V}_{jk}}}{{q}_{j}}{{q}_{k}} \right) \\ & \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\left( {{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}} \right)=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}\left( {{\delta }_{jl}}{{{\dot{q}}}_{k}}+{{\delta }_{kl}}{{{\dot{q}}}_{j}} \right)=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{T}_{lk}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+{{T}_{lj}}{{{\dot{q}}}_{j}}=\sum\limits_{k}{{{T}_{lk}}}{{{\dot{q}}}_{k}}\quad mit\ {{T}_{jl}}={{T}_{lj}} \\ & \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right)=\sum\limits_{k}{{{T}_{lk}}}{{{\ddot{q}}}_{k}} \\ & \frac{\partial L}{\partial {{q}_{l}}}=-\sum\limits_{k}{{{V}_{lk}}{{q}_{k}}} \\ & \Rightarrow \sum\limits_{k}{{{T}_{lk}}}{{{\ddot{q}}}_{k}}+{{V}_{lk}}{{q}_{k}}=0\quad \quad l=1,...,f \\ \end{align}</math> Somit haben wir ein System von f linearen Differenzialgleichungen gegeben. Bekanntlich eignet sich als Ansatz für die Lösung: :<math>\begin{align} & {{q}_{k}}(t)={{A}_{k}}{{e}^{iwt}}\quad {{A}_{k}}\in C \\ & \sum\limits_{k}{({{V}_{lk}}-{{\omega }^{2}}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}=0} \\ \end{align}</math> Dies ist eine Eigenwertgleichung für w² Bei gegebenen w² liegt ein lineares Gleichungssystem für die Ak vor: Eine nichttriviale Lösung existiert aber genau dann, wenn :<math>\det \left( {{V}_{lk}}-{{\omega }^{2}}{{T}_{lk}} \right)=0</math> Dies ist die charakteristische Gleichung für w², die sogenannte Säkulargleichung, ein Polynom f-ten Grades. :<math>{{V}_{lk}},{{T}_{lk}}positiv\ definit\Rightarrow {{\omega }^{2}}>0</math> für alle Nullstellen des charakteristischen Polynoms. <u>Beweis:</u> :<math>\begin{align} & \sum\limits_{k}{({{V}_{lk}}-{{\omega }^{2}}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}=0}\left| \cdot \sum\limits_{l}{{{A}_{l}}^{*}} \right. \\ & \sum\limits_{l,k}{{{V}_{lk}}{{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}-}{{\omega }^{2}}\sum\limits_{l,k}{{{T}_{lk}}{{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}}=0 \\ & {{\omega }^{2}}=\frac{\sum\limits_{l,k}{{{V}_{lk}}{{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}}}{\sum\limits_{l,k}{{{T}_{lk}}{{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}}} \\ & \sum\limits_{l,k}{{{V}_{lk}}{{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{l,k}{{{V}_{lk}}{{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}}+\frac{1}{2}\sum\limits_{l,k}{{{V}_{kl}}{{A}_{k}}^{*}{{A}_{l}}=}\frac{1}{2}\sum\limits_{l,k}{{{V}_{lk}}\left( {{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}+{{A}_{k}}^{*}{{A}_{l}} \right)=}\frac{1}{2}\sum\limits_{l,k}{{{V}_{lk}}2\cdot \operatorname{Re}\left( {{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}} \right)} \\ \end{align}</math> Also handelt es sich hierbei um eine reelle quadratische Form. Nun sind Vlk und Tlk positiv definite Matrizen. Zähler und Nenner sind aber reelle quadratische Formen. Was zur Folge hat, dass w²>0 Die Lösungen des Gleichungssystems :<math>\begin{align} & {{q}_{k}}(t)={{A}_{k}}{{e}^{iwt}}\quad {{A}_{k}}\in C \\ & \sum\limits_{k}{({{V}_{lk}}-{{\omega }^{2}}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}=0} \\ \end{align}</math> sind die Eigenfrequenzen :<math>{{\omega }^{2}}_{a}\quad a=1,...,f</math> und die Eigenvektoren :<math>{{A}_{k}}^{(a)}\quad a=1,...,f</math> Wobei die Eigenvektoren nur bis auf einen Normierungsfaktor bestimmt sind und reell gewählt werden können. Die allgemeine Lösung für die verallgemeinerten Kooridnaten lautet: :<math>\begin{align} & {{q}_{k}}(t)=\operatorname{Re}\left\{ \sum\limits_{a=1}^{f}{{{C}_{a}}}{{A}_{k}}^{(a)}{{e}^{i{{w}_{a}}t}} \right\} \\ & \\ \end{align}</math> Die <math>{{C}_{a}}</math> werden durch die Anfangsbedingungen :<math>{{q}_{k}}(0),{{\dot{q}}_{k}}(0)</math> bestimmt
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