Editing Lagrangegleichungen 2. Art (section)

==Anwendungsschema für Lagrangegleichungen zweiter Art:==

MISSING
{{Beispiel|
'''Die Atwoodsche Fallmaschine'''
[[File:Atwood.svg|miniatur]]
Generalisierte Koordinate: q


:<math>\begin{align}
  & T({{q}_{{}}},{{{\dot{q}}}_{{}}},t)=\frac{1}{2}({{m}_{{{1}_{{}}}}}+{{m}_{2}}){{{\dot{q}}}^{2}} \\
 & V(q,\dot{q},t)={{m}_{1}}gq+{{m}_{2}}(l-q)g \\
 & \frac{\partial L}{\partial q}={{m}_{1}}g-{{m}_{2}}g \\
 & \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\dot{q} \\
 & ({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\ddot{q}+{{m}_{1}}g-{{m}_{2}}g=0 \\
 &  \\
\end{align}</math>
}}
{{Beispiel|
'''Beispiel 2:'''
[[Datei:MomAng2.png|miniatur|Eine Masse m rotiert mit Winkelgeschwindigkeit w an einem Faden der Länge Ro, welcher mit Geschwindigkeit c durch ein Loch gezogen wird (rheonome Zwangsbedingung).]]
Eine Masse m rotiert mit Winkelgeschwindigkeit w an einem Faden der Länge Ro, welcher mit Geschwindigkeit c durch ein Loch gezogen wird (rheonome Zwangsbedingung).

'''Generalisierte Koordinate''' q ist der Winkel
:<math>\phi </math>
:


:<math>\begin{align}
  & T({{q}_{{}}},{{{\dot{q}}}_{{}}},t)=\frac{1}{2}m{{c}^{2}}+\frac{1}{2}m{{{\dot{q}}}^{2}}{{({{R}_{o}}^{{}}-ct)}^{2}} \\
 & V(q,\dot{q},t)=0 \\
 & L=\frac{1}{2}m{{c}^{2}}+\frac{1}{2}m{{{\dot{q}}}^{2}}{{({{R}_{o}}^{{}}-ct)}^{2}} \\
\end{align}</math>


Dahin  kommt man im Übrigen aus:


:<math>\begin{align}
  & T=\frac{1}{2}m({{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{y}}}^{2}}) \\
 & x=({{R}_{o}}-ct)\cos \phi  \\
 & \dot{x}=-c\cos \phi -({{R}_{o}}-ct)\dot{\phi }\sin \phi =-c\cos q-({{R}_{o}}-ct)\dot{q}\sin q \\
 & y=({{R}_{o}}-ct)\sin \phi  \\
\end{align}</math>



:<math>\begin{align}
  & \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=m\dot{q}{{({{R}_{o}}^{{}}-ct)}^{2}} \\
 & \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=m\ddot{q}{{({{R}_{o}}^{{}}-ct)}^{2}}-2cm\dot{q}({{R}_{o}}^{{}}-ct) \\
 & \Rightarrow \ddot{q}({{R}_{o}}-ct)=2c{{{\dot{q}}}^{{}}} \\
\end{align}</math>


Somit haben wir eine '''Bewegungsgleichung für die Winkelgeschwindigkeit''' gefunden:


:<math>\begin{align}
  & \frac{{\dot{\omega }}}{\omega }=\frac{2c}{{{R}_{o}}-ct} \\
 & \int{\frac{d\omega }{\omega }=2c\int{\frac{dt}{{{R}_{o}}-ct}}} \\
 & \ln \omega =-2\ln ({{R}_{o}}-ct)+const \\
 & \ln \omega =\ln \frac{con\tilde{s}}{{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}} \\
 & \omega =\frac{con\tilde{s}}{{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}} \\
\end{align}</math>


Bestimmung der Konstanten aus den Anfangsbedingungen liefert:

'''Drehimpuls''':


:<math>\begin{align}
  & \vec{L}=m\vec{v}\times \vec{r} \\
 & {{{\vec{L}}}_{o}}=m{{\omega }_{o}}^{{}}{{R}_{o}}^{2}\quad {{v}_{o}}={{\omega }_{o}}{{R}_{o}}\quad {{r}_{o}}={{R}_{o}} \\
 & andererseits: \\
 & {{\omega }_{o}}=\frac{con\tilde{s}}{{{({{R}_{o}})}^{2}}} \\
 & \Rightarrow \omega =\frac{con\tilde{s}}{{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}}\Rightarrow con\tilde{s}=\frac{{{{\vec{L}}}_{o}}}{m} \\
 & \omega =\frac{{{{\vec{L}}}_{o}}}{m{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}}=\dot{q} \\
\end{align}</math>


Durch Integration gewinnt man:


:<math>q={{q}_{o}}+\frac{{{{\vec{L}}}_{o}}}{cm({{R}_{o}}-ct)}</math>


Das heißt, wie zu erwarten war, die Masse dreht sich immer schneller, je kürzer der Faden wird (Drehimpulserhaltung!)}}