Editing Klein- Gordon- Gleichung (section)

==Forderungen an eine relativistische Formulierung in der Ortsdarstellung:==
# Die Beschreibung der Zustände geschieht durch Wellenfunktionen <math>\Psi (q,t)</math> wobei q Bahn- und Spinvariable enthält.
# <math>{{\left| \Psi (q,t) \right|}^{2}}</math> ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit zur zeit t
# Die Dynamik ist linear: <math>L\Psi (q,t)=0</math> wegen des Superpositionsprinzips. Das heißt, wenn <math>{{\Psi }_{1}},{{\Psi }_{2}}</math> Lösung der SGL, dann auch <math>{{a}_{1}}{{\Psi }_{1}}+{{a}_{2}}{{\Psi }_{2}}</math> für beliebige komplexe Koeffizienten a1, a2
#Die Differenzialgleichung ist erster Ordnung, damit <math>\Psi (q,t)</math>eindeutig aus der Anfangsbedingung <math>\Psi (q,0)</math> über <math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =H\Psi </math> bestimmt ist.
#Die Physikalischen Observablen werden durch hermitesche Operatoren repräsentiert.
#Die Messwerte sind die Eigenwerte dieser Operatoren: <math>A\left| a \right\rangle =a\left| a \right\rangle </math>
#Der Erwartungswert repräsentiert den Mittelwert der Messungen: <math>\left\langle  \Psi  \right|A\left| \Psi  \right\rangle </math>
#Es gibt vollständige Sätze vertauschbarer Operatoren <math>{{\hat{A}}_{i}}</math> mit gemeinsamen Eigenzuständen <math>\left| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle </math>

Also:
:<math>{{\hat{A}}_{i}}\left| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle ={{a}_{i}}\left| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle </math>

Mit '''Orthonormierung''':

:<math>\left\langle  {{a}_{1}}\acute{\ },{{a}_{2}}\acute{\ },...  |  {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle ={{\delta }_{a1a1\acute{\ }}}{{\delta }_{a2a2\acute{\ }}}</math>

Mit '''Vollständigkeit''':

:<math>\sum\limits_{{{a}_{1}},{{a}_{2}},...}{{}}\left| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle \left\langle  {{a}_{1}},{{a}_{2}},... \right|=1</math>

Mit '''Entwickelbarkeit''' beliebiger Zustände:

:<math>\left| \Psi (t) \right\rangle =\sum\limits_{{{a}_{1}},{{a}_{2}},...}{{}}c\left( {{a}_{1}}{{a}_{2}},...,t \right)\left| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle </math>

Die Wahrscheinlichkeit, im Zustand <math>\left| \Psi (t) \right\rangle </math> die Messwerte a1,a2,... zu messen ergibt sich durch das Betragsquadrat der Entwicklungskoeffizienten des jeweils zugehörigen Basiszustands:

:<math>{{\left| c\left( {{a}_{1}}{{a}_{2}},...,t \right) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle  {{a}_{1}}{{a}_{2}},..  |  \Psi (t) \right\rangle  \right|}^{2}}</math>