Editing Kinetische Energie und Trägheitstensor (section)

====Eigenschaften des Trägheitstensors====

:<math>\bar{\bar{J}}</math>
ist ein Tensor zweiter Stufe. Das heißt unter Drehungen
:<math>R\in SO(3)</math>
transformiert er sich wie folgt:

R kennzeichnet dabei die Drehmatrizen im
:<math>{{R}^{3}}</math>
mit Orthogonalitätseigenschaft:
:<math>R{{R}^{T}}=1,\det R=1</math>


Nun, er transformiert sich unter Drehungen wie folgt:

Wenn
:<math>{{x}_{m}}\to {{x}_{m}}\acute{\ }=\sum\limits_{n=1}^{3}{{{R}_{mn}}{{x}_{n}}}</math>


Dann:
:<math>{{J}_{mn}}\to {{J}_{mn}}\acute{\ }=\sum\limits_{l=1}^{3}{\sum\limits_{s=1}^{3}{{}}{{R}_{ml}}{{R}_{ns}}{{J}_{ls}}}</math>


Kompakt:


:<math>\begin{align}
  & \bar{x}\to \bar{x}\acute{\ }=R\bar{x} \\
 & \bar{\bar{J}}\to \bar{\bar{J}}\acute{\ }=R\bar{\bar{J}}{{R}^{T}} \\
\end{align}</math>


Dabei bemerken wir: Matrizen sind einfach Zahlenschemata mit Zeilen und Spalten. Aber erst das Transformationsverhalten definiert einen Tenor (Im Gegensatz zu einer Matrix).

Tensor 1. Stufe:
:<math>{{x}_{m}}\acute{\ }=\sum\limits_{n=1}^{3}{{{R}_{mn}}{{x}_{n}}}</math>
= Vektor

Tensor 2. Stufe
:<math>{{J}_{mn}}\acute{\ }=\sum\limits_{l=1}^{3}{\sum\limits_{s=1}^{3}{{}}{{R}_{ml}}{{R}_{ns}}{{J}_{ls}}}</math>


Tensor n-ter STufe:
:<math>{{A}_{mn....x}}\acute{\  }=\sum\limits_{l,s,...,t=1}^{3}{{{R}_{ml}}{{R}_{ns}}...{{R}_{xt}}{{A}_{ls...t}}}</math>
 wobei links n Indices stehen und rechts n mal die Drehmatrix angewendet wird (und jeweils von 1-3 summiert!)