Editing Eigenschaften eindimensionaler stationärer Zustände (section)

====Charakterisierung des Energiespektrums====
Gegeben sei ein stückweise stetiges, nach unten beschränktes Potenzial mit <math>{{V}_{+}}\le {{V}_{-}}\le \infty </math>
Für den Bereich <math>E<V(x)</math>(klassische verboten), gilt:
:<math>\frac{\phi \acute{\ }\acute{\ }(x)}{\phi (x)}=\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\left( V(x)-E \right)>0</math>
Also für den Fall <math>\phi (x),\phi \acute{\ }\acute{\ }(x)>0</math>ist die Krümmung konvex und für <math>\phi (x),\phi \acute{\ }\acute{\ }(x)<0</math>(zweite mögliche Alternative) ist die Krümmung konkav.
Jedenfalls ist die Wellenfunktion von der x- Achse "weggekrümmt", also allgemein gesprochen "divergent":
Dies ist deutlicher zu erkennen, wenn man Potenziale einzeichnet, die hier größer sind als die Energie: Es gibt immer exponentielle Dämpfung in derartigen Fällen:


Im Bereich <math>E>V(x)</math>gilt: <math>\frac{\phi \acute{\ }\acute{\ }(x)}{\phi (x)}=<0</math>. Dieser Bereich ist auch klassisch erlaubt.  Hier ist die Krümmung stets zur x- Achse hin, also im Wesentlichen oszillierend:
Damit können wir unsere Eigenfunktionen klassifizieren:
1) <math>E<{{V}_{\min }}(x)</math>: Die Energie liegt überall unterhalb des Potenzials → <math>\phi (x)</math>divergiert nach <math>\infty </math>. Keine Lösung existiert!
# <math>{{V}_{\min }}(x)<E<{{V}_{+}}(x)</math>: Es existieren gebundene Zustände;
* bei symmetrischem (vollkommen rotationssymmetrisch) Potenzial V existiert mindestens ein gebundener Zustand <math>{{\phi }_{0}}(x)</math> → eindimensionale Potenzialtöpfe sind immer vollkommen rotationssymmetrisch! → es existiert immer ein gebundener Zustand.
Dies ist anders bei 2- / 3- dimensionalen Potenzialtöpfen! Wenn diese nicht vollständig rotationssymmetrisch sind, kann es sein, dass kein Zustand existiert, wenn die Töpfe flach genug sind!
* Das Energiespektrum ist diskret und nicht entartet: <math>{{E}_{0}}<{{E}_{1}}<...</math>
entartet heißt: zu einem Eigenwert gehören mehrere, linear unabhängige Eigenfunktionen!
* Knotensatz: Die zum n-ten Eigenwert <math>{{E}_{n}}</math>gehörende Eigenfunktion <math>{{\phi }_{n}}(x)</math>hat n Knoten (Nullstellen im Inneren des Definitionsbereichs).