Editing Die Quantisierung (section)

====Der Meßprozeß:====

:<math>\left| \Phi  \right\rangle -1.MessungvonF\to \left| \Phi \acute{\ } \right\rangle -2.MessungvonF\to \left| \Phi \acute{\ }\acute{\ } \right\rangle </math>

Dabei ändert sich der Zustand durch die Wechselwirkung mit dem Messapparat.

Die Messwerte sind F´ in <math>\left| \Phi \acute{\ } \right\rangle </math>

und F´´in <math>\left| \Phi \acute{\ }\acute{\ } \right\rangle </math>
.


Forderung:  F´ = F ´´

→<math>F\acute{\ }=F\acute{\ }\acute{\ }={{F}_{n}}</math>

(Eigenwert)

:<math>\left| \Phi \acute{\ } \right\rangle </math>

=<math>\left| \Phi \acute{\ }\acute{\ } \right\rangle </math>

=<math>\left| n \right\rangle </math>

Eigenzustand zu <math>\hat{F}</math>

Also: <math>\left| \Phi  \right\rangle \to \left| n \right\rangle </math>

Der beliebige Zustand wird durch die Messung auf einen Eigenzustand projiziert.

Man spricht von einer Reduktion des Zustandsvektors durch die Messung.

Beispiel: '''Stern- Gerlach - Apparatur''':

Von links kommt ein Ensemble von Teilchen mit dem magnetischen Moment mz.

Dabei kennzeichnet rechts <math>\left| -1 \right\rangle </math>

den Eigenzustand zu mz = -1

Erwartungswert = Mittelwert über viele Messungen mit identisch präparierten Ausgangszuständen <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>

:

:<math>\begin{align}

& \left\langle  \Psi  \right|\hat{F}\left| \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{n,n\acute{\ }}^{{}}{\left\langle  \Psi   |  n \right\rangle \left\langle  n \right|\hat{F}\left| n\acute{\ } \right\rangle \left\langle  n\acute{\ }  |  \Psi  \right\rangle } \\

& \left\langle  n \right|\hat{F}\left| n\acute{\ } \right\rangle ={{F}_{n}}{{\delta }_{nn\acute{\ }}} \\

& \Rightarrow \left\langle  \Psi  \right|\hat{F}\left| \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{{F}_{n}}{{\left| \left\langle  n | \Psi  \right\rangle  \right|}^{2}}} \\
\end{align}</math>

Mit der Wahrscheinlichkeit, im Zustand <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>
(vor der Messung) den Messwert Fn zu messen:
:<math>p({{F}_{n}})={{\left| \left\langle  n | \Psi  \right\rangle  \right|}^{2}}</math>

Vergleiche dazu: Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Ortsdarstellung:
:<math>p(\bar{r})={{\left| \Psi (\bar{r}) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle  {\bar{r}} | \Psi  \right\rangle  \right|}^{2}}</math>

Wie wir bereits kennengelernt haben, läßt sich mit dem Projektionsoperator schreiben:
:<math>{{\left| \left\langle  n | \Psi  \right\rangle  \right|}^{2}}=\left\langle  \Psi  | n \right\rangle \left\langle  n | \Psi  \right\rangle =\left\langle  \Psi  \right|{{\hat{P}}_{n}}\left| \Psi  \right\rangle =\left\langle {{{\hat{P}}}_{n}} \right\rangle </math>

Wow! Great thinknig! JK