Editing Der harmonische Oszillator (section)

=====Eigenwerte von H=====
Sei <math>\left| E \right\rangle </math>

ein normierter Eigenvektor von <math>\hat{H}</math>

mit <math>\hat{H}\left| E \right\rangle =E\left| E \right\rangle </math>

So gilt:

:<math>\begin{align}

& \hbar \omega \left\langle  E \right|{{a}^{+}}a\left| E \right\rangle =\left\langle  E \right|\hat{H}-\frac{\hbar \omega }{2}\left| E \right\rangle =\left\langle  E \right|E-\frac{\hbar \omega }{2}\left| E \right\rangle =E-\frac{\hbar \omega }{2} \\

& \left\langle  E \right|{{a}^{+}}a\left| E \right\rangle =\left\langle  \Psi   |  \Psi  \right\rangle \ge 0 \\

\end{align}</math>

Das bedeutet:

:<math>\begin{align}

& E\ge \frac{\hbar \omega }{2} \\

& E\ge \frac{\hbar \omega }{2}\Leftrightarrow a\left| E \right\rangle =0 \\

\end{align}</math>

Das Energiespektrum ist also nach unten beschränkt und gleichzeitig vernichtet der Absteigeoperator den Zustand mit der niedrigsten Energie

'''Behauptung'''

:<math>a\left| E \right\rangle </math>

ist Eigenzustand zu <math>\hat{H}</math>

mit dem Eigenwert <math>E-\hbar \omega </math>

:

Also: <math>\hat{H}a\left| E \right\rangle =\left( E-\hbar \omega  \right)a\left| E \right\rangle </math>

'''Beweis:'''

:<math>\hat{H}a\left| E \right\rangle =\left( a\hat{H}-\hbar \omega  \right)a\left| E \right\rangle =a\left( \hat{H}-\hbar \omega  \right)\left| E \right\rangle =a\left( E-\hbar \omega  \right)\left| E \right\rangle =\left( E-\hbar \omega  \right)a\left| E \right\rangle </math>

Dabei gilt

:<math>\hat{H}a\left| E \right\rangle =\left( a\hat{H}-\hbar \omega  \right)a\left| E \right\rangle </math>

wegen

:<math>\left[ a,\hat{H} \right]=\hbar \omega a</math>

Durch wiederholte Anwendung könnte man Eigenzustände <math>\left| E \right\rangle \ne 0</math>

mit beliebig tiefer Energie erzeugen, wenn nicht <math>E\ge \frac{\hbar \omega }{2}</math>

gelten würde.

Daher existiert ein <math>m\in N</math>

so dass <math>{{a}^{m}}\left| E \right\rangle =0</math>

aber <math>{{a}^{m-1}}\left| E \right\rangle \ne 0</math>

Also definiere man einen Grundzustand:

:<math>\left| 0 \right\rangle :={{a}^{m-1}}\left| E \right\rangle </math>

Vorsicht! Dieser ist gerade nicht ein NULL- KET,

sondern: Der Zustand zur Quantenzahl n=0

:<math>\hat{H}\left| 0 \right\rangle =\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+\frac{1}{2} \right)\left| 0 \right\rangle =\frac{1}{2}\hbar \omega \left| 0 \right\rangle </math>

wegen

:<math>a\left| 0 \right\rangle ={{a}^{m}}\left| E \right\rangle =0</math>

Also:

:<math>\begin{align}

& {{E}_{0}}=\frac{\hbar \omega }{2} \\

& a\left| 0 \right\rangle ={{a}^{m}}\left| E \right\rangle =0 \\

\end{align}</math>

Weiter:

:<math>\hat{H}{{a}^{+}}\left| 0 \right\rangle =\left( {{a}^{+}}H+\hbar \omega {{a}^{+}} \right)\left| 0 \right\rangle ={{a}^{+}}\left( \hat{H}+\hbar \omega  \right)\left| 0 \right\rangle ={{a}^{+}}\left( \frac{\hbar \omega }{2}+\hbar \omega  \right)\left| 0 \right\rangle =\frac{3\hbar \omega }{2}{{a}^{+}}\left| 0 \right\rangle </math>

Der erste Schritt gilt wieder wegen der Vertauschungsrelation

:<math>\left[ {{a}^{+}},\hat{H} \right]=-\hbar \omega {{a}^{+}}</math>

Das heißt nun aber, dass <math>{{a}^{+}}\left| 0 \right\rangle </math>

der Eigenzustand von <math>\hat{H}</math>

zum Eigenwert <math>\frac{3\hbar \omega }{2}</math>

ist.

<u>'''Vollständige Induktion'''</u>

:<math>\hat{H}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle </math>

Dann:

:<math>\begin{align}

& \hat{H}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}\left| 0 \right\rangle =\left( {{a}^{+}}\hat{H}+\hbar \omega {{a}^{+}} \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle ={{a}^{+}}\left( \hat{H}+\hbar \omega  \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle  \\

& \left( \hat{H}+\hbar \omega  \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\left( \hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)+\hbar \omega  \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle  \\

& \Rightarrow \hat{H}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}\left| 0 \right\rangle ={{a}^{+}}\left( \hat{H}+\hbar \omega  \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\hbar \omega \left( n+1+\frac{1}{2} \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}\left| 0 \right\rangle  \\

\end{align}</math>