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D'Alembertsches Prinzip der virtuellen Arbeit
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==Variationsprinzip mit Nebenbedingungen== Wir numerieren nun die Vektorkoordinaten um: :<math>\begin{align} & \vec{r}\to {{r}_{j}}(j=1...3) \\ & \vec{X}\to {{X}_{j}} \\ & \vec{a}\to {{b}_{j}}^{n} \\ \end{align}</math> Aus dem d´Alembertschen Prinzip gewinnen wir: :<math>\sum\limits_{i=1}^{3N}{{{Z}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{r}_{i}}}=\sum\limits_{i=1}^{3N}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{r}}}_{i}}-{{X}_{i}} \right)\delta {{r}_{i}}=0}</math> Nebenbedingung: :<math>\sum\limits_{i=1}^{3N}{{{b}_{i}}^{n}\delta {{r}_{i}}=0\quad n=1,...,\nu }</math> :<math>\nu</math> charakterisiert auch hier die Zahl der Nebenbedingungen, der Index n steht für die n-te Nebenbedingung Dies ist lösbar mit der {{FB|Methode der Lagrange-Multiplikatoren}}. Denn: Wenn die Vektorkomponenten <math>{{r}_{i}}</math> frei variierbar wären, also <math>\delta {{r}_{i}}</math> beliebig, so müsste gelten: :<math>{{m}_{i}}{{\ddot{r}}_{i}}-{{X}_{i}}=0</math> Also wäre es sinnvoll, das lineare Gleichungssystem so umzuschreiben, dass ein '''Satz von Faktoren frei variierbar''' ist: * Zuerst addieren wir die Nebenbedingungen mit noch beliebigen {{FB|Lagrangemultiplikatoren}} <math>{{\lambda }_{n}}</math> Wir erhalten: **<math>\sum\limits_{j=1}^{3N}{\left( {{m}_{j}}{{{\ddot{r}}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}} \right)\delta {{r}_{j}}=0}</math> *Nun sind <math>\delta {{r}_{1}},\delta {{r}_{2}},...,\delta {{r}_{\nu }}</math> aus den '''Nebenbedingungen''' zu eliminieren. Die verbleibenden <math>\delta {{r}_{\nu +1}},...,\delta {{r}_{3N}}</math> sind nun frei variierbar. *Nun kann das Summenzeichen weggelassen werden, da die verbleibenden Vektorkomponenten frei variiert werden können und dementsprechend jeder Summand für sich Null sein muss: **Es lassen sich <math>{{\lambda }_{1,}}...,{{\lambda }_{\nu }}</math> derart bestimmen, dass **<math>{{m}_{j}}{{\ddot{r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}=0\quad j=1,...,\nu </math> **Das heißt, wir suchen die <math>{{\lambda }_{1,}}...,{{\lambda }_{\nu }}</math> aus diesem gegebenen linearen Gleichungssystem für die <math>{{\lambda }_{n}}(t)</math> als Funktion der <math>{{\ddot{r}}_{j}}(t)</math>; Im stationären Fall ist dies direkt auflösbar. ** <math>\sum\limits_{j=\nu +1}^{3N}{\left( {{m}_{j}}{{{\ddot{r}}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}} \right)\delta {{r}_{j}}=0}</math> **Da hier jedoch die <math>\delta {{r}_{j}}</math> frei variierbar sind, gilt: {{Def|<math>{{m}_{j}}{{\ddot{r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}=0</math>'''Lagrange- Gleichung der 1. Art'''|Lagrange- Gleichung der 1. Art}} :<math>\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}</math> kann als Zwangskraft interpretiert werden und taucht in der Statik als Lagrange- Parameter auf. {{Beispiel|Beispiel Atwoodsche Fallmaschine [[Datei:Atwoods machine functionally.svg|miniatur|Atwoods Fallmaschine]] Aus der Schule bekannt ist die Kraft, die an m1 angreift, nämlich -m1g und die Kraft, die an m2 angreift, nämlich -m2g. Beginnen wir mit dem d´Alembertschen Prinzip: :<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)}\delta {{\vec{r}}_{i}}=0</math> so folgt: :<math>({{m}_{1}}{{\ddot{h}}_{1}}-{{X}_{1}})\delta {{h}_{1}}+({{m}_{2}}{{\ddot{h}}_{2}}-{{X}_{2}})\delta {{h}_{2}}=0</math> Da der Aufbau nur ein Rädchen besitzt gilt ganz einfach: :<math>\begin{align} & {{h}_{1}}+{{h}_{2}}=const. \\ & \delta {{h}_{1}}=-\delta {{h}_{2}} \\ & {{{\ddot{h}}}_{1}}=-{{{\ddot{h}}}_{2}} \\ \end{align}</math> Also folgt: :<math>({{m}_{1}}{{\ddot{h}}_{1}}+{{m}_{1}}g)\delta {{h}_{1}}-(-{{m}_{2}}{{\ddot{h}}_{1}}+{{m}_{2}}g)\delta {{h}_{1}}=0</math> :<math>{{m}_{1}}{{\ddot{h}}_{1}}+{{m}_{1}}g+{{m}_{2}}{{\ddot{h}}_{1}}-{{m}_{2}}g=0</math> :<math>{{\ddot{h}}_{1}}=\frac{({{m}_{2}}-{{m}_{1}})}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}g</math> Also: Am bedeutendsten ist das d´Alembertsche Prinzip, welches sagt, dass die Summe über alle virtuellen Arbeiten der Zwangskräfte Null ist: :<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)}\delta {{\vec{r}}_{i}}=0</math>}}
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