Editing Stabilität und Langzeitverhalten (section)

====Beispiel für ein dissipatives System: LORENZMODELL (1963)====


:<math>\begin{align}
  & \dot{x}=-\sigma x+\sigma y \\
 & \dot{y}=-zx-xz+rz-y \\
 & \dot{z}=yx+xy-bz \\
\end{align}</math>


Dies leitet sich ab aus der Temperatur- und Strömungsverteilung einer inkompressiblen Flüssigkeit: Das Rayleigh - Bénard- System

Linearisierung:


:<math>\begin{align}
  & A=\left( \begin{matrix}
   -\sigma  & \sigma  & 0  \\
   -z & -1 & r-x  \\
   y & x & -b  \\
\end{matrix} \right) \\
 & \Rightarrow \Lambda =trA=-\left( \sigma +1+b \right) \\
 & \Rightarrow V(t)={{e}^{-\left( \sigma +1+b \right)t}}{{V}_{0}}-t->\infty \to 0 \\
\end{align}</math>


Phasenraumvolumina schrumpfen also monoton!

Das Lorenzmodell produziert weiterhin chaotisch Lösungen:

Der Stereoplot eines numerisch bestimmten Attraktors im Phasenraum liefert folgendes Bild:



Dies ist so zu verstehen, dass sich die Phasenraumkurven, die sich übrigens nie schneiden! im Raum dieses Attraktors konzentrieren:

Insbesondere enden gleich Anfangszustände immer wieder am selben Attraktor.

Das Langzeitverhalten dissipativer Systeme wird durch Attraktoren bestimmt:

'''Def.:'''

Sei
:<math>\bar{F}</math>
ein vektorfeld auf
:<math>M={{R}^{n}}</math>.
 Eine abgeschlossene, unter dem Fluß
:<math>{{\Phi }_{t}}</math> invariante <math>{{\Phi }_{t}}(A)\subseteq A</math>,
 unzerlegbare Teilmenge
:<math>A\subset M</math>
heißt Attraktor, falls:

#
:<math>A\subset {{U}_{0}}</math>
(offene Umgebung von A) mit
:<math>{{\Phi }_{t}}({{U}_{0}})\subseteq {{U}_{0}}</math>
(t>0)
#
:<math>\forall V</math> mit <math>A\subset V\subset {{U}_{0}}</math>

:<math>\exists T>0</math>,
 so dass
:<math>{{\Phi }_{t}}({{U}_{0}})\subset V</math>
(t>T)
Das heißt, es existiert ein Attraktorbecken Uo, aus dem der Fluß asymptotisch in den Attraktor A läuft :

'''Nebenbemerkung: Es kann grundsätzlich mehrere koexistierende Attraktoren auf M geben!'''

Ein Attraktor von heißt <font color="#800000">fraktal </font>, wenn er weder eine endliche Anzahl von Punkten, eine stückweise differenzierbare Kurve oder Fläche noch eine Menge, die von einer geschlossenen stückweise differenzierbaren Fläche umgeben wird, darstellt. Ein Attraktor heißt <font color="#800000">seltsam </font>, wenn er chaotisch, fraktal oder beides ist. Die Begriffe chaotisch, fraktal und seltsam werden für kompakte invariante Mengen, die keine Attraktoren sind, analog benutzt. Ein dynamisches System heißt <font color="#800000">chaotisch </font>, wenn es eine kompakte invariante chaotische Menge besitzt.

'''Beispiele für Attraktoren:'''

'''Stabiler Fixpunkt:'''

Mindestdimension des Phasenraumes: 1

Dimension des Attraktors: 0


'''Stabiler Grenzzyklus:'''

Mindestdimension des Phasenraumes: 2

Dimension des Attraktors: 1

periodische Bewegung im Phasenraum

'''Stabiler Torus T²'''

Mindestdimension des Phasenraumes: 3

Dimension des Attraktors: 2

quasiperiodische Bewegung im Phasenraum


'''Seltsamer Attraktor'''

Mindestdimension des Phasenraumes: 3

Dimension des Attraktors: 2<D<3 (fraktaldimensional)

chaotische Bewegung im Phasenraum