Editing Stabilität und Langzeitverhalten (section)

=====Der kräftefreie unsymmetrische Kreisel=====

<u>oBdA: </u>
:<math>0<{{J}_{1}}<{{J}_{2}}<{{J}_{3}}</math>


Folgende sind die Eulerschen Gleichungen für
:<math>{{\omega }_{i}}</math>



:<math>\begin{align}
  & {{J}_{1}}{{{\dot{\omega }}}_{1}}=\left( {{J}_{2}}-{{J}_{3}} \right){{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}} \\
 & {{J}_{2}}{{{\dot{\omega }}}_{2}}=\left( {{J}_{3}}-{{J}_{1}} \right){{\omega }_{3}}{{\omega }_{1}} \\
 & {{J}_{3}}{{{\dot{\omega }}}_{3}}=\left( {{J}_{1}}-{{J}_{2}} \right){{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}} \\
\end{align}</math>


Somit:


:<math>\begin{align}
  & {{{\dot{\omega }}}_{1}}=-\frac{\left( {{J}_{3}}-{{J}_{2}} \right)}{{{J}_{1}}}{{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}}=-{{k}_{1}}{{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}} \\
 & {{{\dot{\omega }}}_{2}}=\frac{\left( {{J}_{3}}-{{J}_{1}} \right)}{{{J}_{2}}}{{\omega }_{3}}{{\omega }_{1}}={{k}_{2}}{{\omega }_{3}}{{\omega }_{1}} \\
 & {{{\dot{\omega }}}_{3}}=-\frac{\left( {{J}_{2}}-{{J}_{1}} \right)}{{{J}_{3}}}{{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}=-{{k}_{3}}{{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}} \\
\end{align}</math>


Die Fixpunkte seien:


:<math>\begin{align}
  & \bar{\varpi }{{*}^{(1)}}=\left( \begin{matrix}
   \omega  & 0 & 0  \\
\end{matrix} \right) \\
 & \bar{\varpi }{{*}^{(2)}}=\left( \begin{matrix}
   0 & \omega  & 0  \\
\end{matrix} \right) \\
 & \bar{\varpi }{{*}^{(3)}}=\left( \begin{matrix}
   0 & 0 & \omega   \\
\end{matrix} \right) \\
\end{align}</math>


Also: Rotation um x1, x2, bzw x3- Achse.

Diese drei Fixpunkte erfüllen die Gleichung:


:<math>{{\dot{\omega }}_{1}}={{\dot{\omega }}_{2}}={{\dot{\omega }}_{3}}=0</math>


'''Linearisierung zum Fixpunkt:'''


:<math>\left( \begin{matrix}
   \delta {{{\dot{\omega }}}_{1}}  \\
   \delta {{{\dot{\omega }}}_{2}}  \\
   \delta {{{\dot{\omega }}}_{3}}  \\
\end{matrix} \right)=A\left( \begin{matrix}
   \delta {{\omega }_{1}}  \\
   \delta {{\omega }_{2}}  \\
   \delta {{\omega }_{3}}  \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
   0 & -{{k}_{1}}{{\omega }_{3}} & -{{k}_{1}}{{\omega }_{2}}  \\
   {{k}_{2}}{{\omega }_{3}} & 0 & {{k}_{2}}{{\omega }_{1}}  \\
   -{{k}_{3}}{{\omega }_{2}} & -{{k}_{3}}{{\omega }_{1}} & 0  \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
   \delta {{\omega }_{1}}  \\
   \delta {{\omega }_{2}}  \\
   \delta {{\omega }_{3}}  \\
\end{matrix} \right)</math>



:<math>\begin{align}
  & \bar{\varpi }{{*}^{(1)}}:{{\varpi }_{1}}=\varpi ,{{\varpi }_{2}}=0,{{\varpi }_{3}}=0 \\
 & 0=\det (A-\lambda 1)=\left| \begin{matrix}
   -\lambda  & 0 & 0  \\
   0 & -\lambda  & {{k}_{2}}{{\omega }_{{}}}  \\
   0 & -{{k}_{3}}\omega  & -\lambda   \\
\end{matrix} \right|=-\lambda \left( {{\lambda }^{2}}+{{k}_{2}}{{k}_{3}}{{\omega }^{2}} \right) \\
 & \Rightarrow {{\lambda }_{1}}^{(1)}=0,{{\lambda }_{2/3}}^{(1)}=\pm i\omega \sqrt{{{k}_{2}}{{k}_{3}}} \\
\end{align}</math>


Der Fixpunkt ist also stabil (Zentrum)


:<math>\begin{align}
  & \bar{\varpi }{{*}^{(2)}}=\left( \begin{matrix}
   0 & \omega  & 0  \\
\end{matrix} \right): \\
 & 0=\det (A-\lambda 1)=\left| \begin{matrix}
   -\lambda  & 0 & -{{k}_{1}}\omega   \\
   0 & -\lambda  & {{0}_{{}}}  \\
   -{{k}_{3}}\omega  & 0 & -\lambda   \\
\end{matrix} \right|=-\lambda \left( {{\lambda }^{2}}+{{k}_{1}}{{k}_{3}}{{\omega }^{2}} \right) \\
 & \Rightarrow {{\lambda }_{1}}^{(2)}=0,{{\lambda }_{2/3}}^{(2)}=\pm \omega \sqrt{{{k}_{1}}{{k}_{3}}} \\
\end{align}</math>


Der Fixpunkt ist instabil (Sattelpunkt)


:<math>\begin{align}
  & \bar{\varpi }{{*}^{(3)}}=\left( \begin{matrix}
   0 & 0 & \omega   \\
\end{matrix} \right): \\
 & 0=\det (A-\lambda 1)=\left| \begin{matrix}
   -\lambda  & -{{k}_{1}}\omega  & 0  \\
   {{k}_{2}}\omega  & -\lambda  & {{0}_{{}}}  \\
   0 & 0 & -\lambda   \\
\end{matrix} \right|=-\lambda \left( {{\lambda }^{2}}+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{\omega }^{2}} \right) \\
 & \Rightarrow {{\lambda }_{1}}^{(3)}=0,{{\lambda }_{2/3}}^{(2)}=\pm i\omega \sqrt{{{k}_{1}}{{k}_{2}}} \\
\end{align}</math>


* Fixpunkt stabil (Zentrum)

Fazit: Bei asymmetrischen Kreiseln ist nur die Rotation um die Achse zum größten und zum kleinsten Trägheitsmoment stabil!

<u>'''Hamiltonsche Systeme'''</u>

Hier folgt aus
:<math>trA=div\bar{F}=0</math>
der Satz von Liouville (§ 4.5)


:<math>\begin{align}
  & {{V}_{t}}=\int_{{{U}_{t}}}^{{}}{{{d}^{2f}}x}=\int_{{{U}_{t}}_{0}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det D{{\Phi }_{t}}({{{\bar{x}}}_{0}})=\int_{{{U}_{t}}_{0}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\left[ 1+(t-{{t}_{0}})\sum\limits_{i=1}^{2f}{\frac{\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{0}}^{i}}+...} \right] \\
 & \sum\limits_{i=1}^{2f}{\frac{\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{0}}^{i}}={{\left( div\bar{F} \right)}_{{{{\bar{x}}}_{0}}}}} \\
 &  {{V}_{t}}={{V}_{{{t}_{0}}}}+(t-{{t}_{0}})\int_{{{U}_{t}}_{0}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}{{\left( div\bar{F} \right)}_{{{{\bar{x}}}_{0}}}}+O{{(t-{{t}_{0}})}^{2}} \\
 & \frac{d{{V}_{t}}}{dt}=\begin{matrix}
   \lim   \\
   t->{{t}_{0}}  \\
\end{matrix}\frac{{{V}_{t}}-{{V}_{{{t}_{0}}}}}{(t-{{t}_{0}})}=\int_{{{U}_{t}}_{0}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}{{\left( div\bar{F} \right)}_{{{{\bar{x}}}_{0}}}}=0 \\
 & {{\left( div\bar{F} \right)}_{{{{\bar{x}}}_{0}}}}=0 \\
\end{align}</math>


Das heißt: Die Phasenraumvolumina sind erhalten, der Fluß ist inkompressibel!

Für '''dissipative '''Systeme gilt für kleine Volumiona, die einen asymptotisch stabilen Fixpunkt
:<math>\bar{x}*</math>
 umschließen:


:<math>\begin{align}
  & \frac{d{{V}_{t}}}{dt}\approx \int_{{{U}_{t}}}^{{}}{{{d}^{2f}}x}{{\left( div\bar{F} \right)}_{\bar{x}*}}=\Lambda {{V}_{t}} \\
 & \Rightarrow V(t)={{e}^{\Lambda t}}{{V}_{0}} \\
\end{align}</math>


Mit der Phasenraumkontraktionsrate
:<math>\Lambda :=div\bar{F}<0</math> wegen <math>div\bar{F}=\sum\limits_{i}^{{}}{\operatorname{Re}{{\lambda }_{i}}}<0</math>,
 da sonst der Fixpunkt nicht stabil wäre (Voraussetzung).

Allgemien gilt:

Def.: Dissipative Systeme sind solche, die Phasenraumvolumina kontrahieren. Asymptotisch stabile Fixpunkte (Knoten und Fokus, jeweils stabil), heißen SENKEN oder ATTRAKTOREN im Phasenraum.