Editing Zustandsvektoren im Hilbertraum (section)

====Axiome des Hilbertraums H:====
# <u>H ist ein komplexer Vektorraum:</u>
#* Assoziativität: <math>\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle +\left( \left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle +\left| {{\Psi }_{3}} \right\rangle  \right)=\left( \left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle +\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle  \right)+\left| {{\Psi }_{3}} \right\rangle </math>
#* Nullelement: <math>\exists \left| 0 \right\rangle \in H:\left| 0 \right\rangle +\left| \Psi  \right\rangle =\left| \Psi  \right\rangle =\left| \Psi  \right\rangle +\left| 0 \right\rangle \forall \left| \Psi  \right\rangle \in H</math>
#* Inverses: <math>\forall \left| \Psi  \right\rangle \exists \left| -\Psi  \right\rangle :\left| \Psi  \right\rangle +\left| -\Psi  \right\rangle =\left| 0 \right\rangle </math>
#* Kommutativität: <math>\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle +\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle +\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle </math>
Dadurch werden die Elemente aus H zu einer kommutativen Gruppe
Weiter gilt:  Distributivgesetz:
:<math>\alpha \left( \left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle +\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle  \right)=\alpha \left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle +\alpha \left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \forall \alpha \in C</math>
:<math>\left( \alpha +\beta  \right)\left| \Psi  \right\rangle =\alpha \left| \Psi  \right\rangle +\beta \left| \Psi  \right\rangle </math>

Das Assoziativgesetz und weitere Rechenregel bei Multiplikation mit 1 und Null aus den komplexen Zahlen:
:<math>\begin{align}
& \left( \alpha  \right)\left( \beta \left| \Psi  \right\rangle  \right)=\left( \alpha \beta  \right)\left| \Psi  \right\rangle  \\
& 1\cdot \left| \Psi  \right\rangle =\left| \Psi  \right\rangle  \\
& 0\cdot \left| \Psi  \right\rangle =\left| 0 \right\rangle  \\
\end{align}</math>

2) H hat ein Skalarprodukt: <math>\left\langle  {} | {} \right\rangle :H\times H\to C</math>mit:
:<math>\begin{align}
& \left\langle  \Psi  | \Psi  \right\rangle \ge 0:\left\langle  \Psi  | \Psi  \right\rangle =0\to \left| \Psi  \right\rangle =\left| 0 \right\rangle  \\
& \left\langle  \Psi  | {{\Psi }_{1}}+{{\Psi }_{2}} \right\rangle =\left\langle  \Psi  | {{\Psi }_{1}} \right\rangle +\left\langle  \Psi  | {{\Psi }_{2}} \right\rangle  \\
& \left\langle  {{\Psi }_{1}} | \alpha {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\alpha \left\langle  {{\Psi }_{1}} | {{\Psi }_{2}} \right\rangle  \\
& \left\langle  {{\Psi }_{1}} | {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\left\langle  {{\Psi }_{2}} | {{\Psi }_{1}} \right\rangle * \\
\end{align}</math>

Damit bereits kann gezeigt werden: <math>\left\langle  \alpha {{\Psi }_{1}} | {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\alpha *\left\langle  {{\Psi }_{1}} | {{\Psi }_{2}} \right\rangle </math>
Das Skalarprdukt induziert eine Norm: <math>\left\| {} \right\|:H\to R</math>
:<math>\begin{align}
& \left\| \Psi  \right\|\ge 0:\left\| \Psi  \right\|=0\to \left| \Psi  \right\rangle =\left| 0 \right\rangle  \\
& \left\| \alpha \Psi  \right\|=\left| \alpha  \right|\left\| \Psi  \right\| \\
& \left\| {{\Psi }_{1}}+{{\Psi }_{2}} \right\|\le \left\| {{\Psi }_{1}} \right\|+\left\| {{\Psi }_{2}} \right\| \\
\end{align}</math>
Dabei ist letzteres, die Dreiecksungleichung, bedingt durch die Definition:
:<math>\left\| \Psi  \right\|=\sqrt{\left\langle  \Psi  | \Psi  \right\rangle }</math>
3) <math>H</math>ist vollständig. Das heißt: Jede konvergente Folge <math>{{\left\{ {{\Psi }_{n}} \right\}}_{n\in N}}</math>konvergiert gegen ein <math>\left| \Psi  \right\rangle \in H</math>
Also: konvergente Folge von Eigenzuständen: Cauchy- Kriterium: <math>\begin{matrix}
\lim   \\
n\to \infty   \\
\end{matrix}\left\| {{\Psi }_{n+1}}-{{\Psi }_{n}} \right\|=0</math>

Bemerkungen

1) Die Norm verallgemeinert den Abstandsbegriff auf abstrakte Räume. Das Skalarprodukt verallgemeinert den Winkelbegriff auf abstrakte Räume:
:<math>\left\langle  {{\Psi }_{1}} | {{\Psi }_{2}} \right\rangle ,\left\| {{\Psi }_{1}} \right\|>0\left\| {{\Psi }_{2}} \right\|>0\quad \Rightarrow </math>Die beiden Zustände <math>\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle und\left\langle  {{\Psi }_{1}} \right|</math>sind orthogonal.

2) Für <math>\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle ,\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \in H</math>gilt: <math>\left| \left\langle  {{\Psi }_{1}} | {{\Psi }_{2}} \right\rangle  \right|\le \left\| {{\Psi }_{1}} \right\|\cdot \left\| {{\Psi }_{2}} \right\|</math> (Schwarzsche Ungleichung)
3) Äquivalent sind <math>\left\langle  {{\Psi }_{1}} | {{\Psi }_{2}} \right\rangle </math>und <math>\left( {{\Psi }_{1}},{{\Psi }_{2}} \right)</math>
4) Zu unterscheiden sind:
:<math>\left| \Psi  \right\rangle </math>= Ket- Vektor (nach Dirac →Dirac- Schreibweise)
:<math>\left\langle  \Psi  \right|</math>=Bra- Vektor

Zusammen (Skalarprodukt): Bra-c-ket

Dabei bilden die <math>\left\{ \left\langle  \Psi  \right| \right\}</math>den zu <math>\left\{ \left| \Psi  \right\rangle  \right\}</math>dualen Hilbertraum <math>H*:</math>
:<math>\left| \Psi  \right\rangle ={{\lambda }_{1}}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle +{{\lambda }_{2}}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle </math>, <math>\left| \Psi  \right\rangle ={{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}}\in C</math>
impliziert mit beliebigem <math>\left\langle  \Phi  \right|</math>:
:<math>\begin{align}
& \left\langle  \Phi  | \Psi  \right\rangle ={{\lambda }_{1}}\left\langle  \Phi  | {{\Psi }_{1}} \right\rangle +{{\lambda }_{2}}\left\langle  \Phi  | {{\Psi }_{2}} \right\rangle  \\
& \Rightarrow \left\langle  \Phi  | \Psi  \right\rangle *={{\lambda }_{1}}*\left\langle  \Phi  | {{\Psi }_{1}} \right\rangle *+{{\lambda }_{2}}*\left\langle  \Phi  | {{\Psi }_{2}} \right\rangle * \\
& \Rightarrow \left\langle  \Psi  | \Phi  \right\rangle ={{\lambda }_{1}}*\left\langle  {{\Psi }_{1}} | \Phi  \right\rangle +{{\lambda }_{2}}*\left\langle  {{\Psi }_{2}} | \Phi  \right\rangle  \\
& \Rightarrow \left\langle  \Psi  \right|={{\lambda }_{1}}*\left\langle  {{\Psi }_{1}} \right|+{{\lambda }_{2}}*\left\langle  {{\Psi }_{2}} \right| \\
\end{align}</math>
Aber: <math>H</math>ist der zu <math>H*</math>duale Vektorraum, <math>H*</math>ist isomorph zu <math>H</math>

5) <math>H</math>heißt separabel, falls er eine überall dichte, abzählbare Teilmenge <math>D</math>besitzt
Das heißt: <math>\forall \left| \Psi  \right\rangle \in H\quad \exists {{\left\{ {{\Psi }_{n}} \right\}}_{n}}\subset D</math>
Dies ist äquivalent dazu, dass ein Hilbertraum H separabel heißt, wenn er eine abzählbare Hilbert- Basis besitzt, es also ein abzählbares, vollständig orthonormiertes System in H gibt. Eine Isometrie <math>\Phi </math>zwischen Hilberträumen H und K ist eine stetige, bijektive, lineare Abbildung <math>\Phi :H\to K</math>so dass <math>{{\left\| \Phi (x) \right\|}_{K}}={{\left\| x \right\|}_{H}}</math>für alle <math>x\in H</math>.
Anwendung auf die Ortsdarstellung
:<math>\begin{align}
& \Psi (\bar{r})=\left\langle  {\bar{r}} | \Psi  \right\rangle =\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar  \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\tilde{\Psi }(\bar{p}){{e}^{\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}}=\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar  \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p{{e}^{\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}}\left\langle  {\bar{p}} | \Psi  \right\rangle  \\
& \tilde{\Psi }(\bar{p})=\left\langle  {\bar{p}} | \Psi  \right\rangle =\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar  \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\Psi (\bar{r}){{e}^{-\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}}=\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar  \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}}\left\langle  {\bar{r}} | \Psi  \right\rangle  \\
\end{align}</math>
 ist in der Ortsdarstellung eine Eigenfunktion (Wohlgemerkt, eine Funktion!) zum Impuls, also die Ortsdarstellung des Impulszustandes Impuls- Eigenzustandes<math>\left| {\bar{p}} \right\rangle </math>). Der Zustand, der den Impuls repräsentiert und durch Anwendung des Impulsoperators den Impuls liefert.
Denn:
:<math>\frac{\hbar }{i}\nabla {{e}^{\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}=\bar{p}{{e}^{\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}</math>
In Algebraischer Schreibweise bedeutet dies (inklusive Normierung):
 
Impulseigenfunktion in Ortsdarstellung
:<math>\left\langle  {\bar{p}} | {\bar{r}} \right\rangle \tilde{\ }{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}</math>
Ortseigenfunktion in Impulsdarstellung
(Diese beiden gehen durch komplexe Konjugation ineinander über!)
Damit folgt:
:<math>\begin{align}
& \Psi (\bar{r})=\left\langle  {\bar{r}} | \Psi  \right\rangle =\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar  \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p{{e}^{\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}}\left\langle  {\bar{p}} | \Psi  \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\left\langle  {\bar{r}} | {\bar{p}} \right\rangle }\left\langle  {\bar{p}} | \Psi  \right\rangle  \\
& \tilde{\Psi }(\bar{p})=\left\langle  {\bar{p}} | \Psi  \right\rangle =\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar  \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}}\left\langle  {\bar{r}} | \Psi  \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\langle  {\bar{r}} | {\bar{p}} \right\rangle *}\left\langle  {\bar{r}} | \Psi  \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\langle  {\bar{p}} | {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle  {\bar{r}} | \Psi  \right\rangle  \\ 

\end{align}</math>
Da <math>\bar{r}</math>und <math>\bar{p}</math>vollständige Darstellungen sind, folgt:
:<math>\left| \Psi  \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\left| {\bar{p}} \right\rangle }\left\langle  {\bar{p}} | \Psi  \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left| {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle  {\bar{r}} | \Psi  \right\rangle </math>
analog zur Entwicklung des Vektors <math>\left| {\bar{a}} \right\rangle \in {{R}^{n}}</math>nach Basisvektoren (in seinen Koordinaten, mit seinen Koordinaten als Entwicklungskoeffizienten).
:<math>\bar{a}=\sum\limits_{j}{{}}{{a}_{j}}\left| {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle =\sum\limits_{j}{\left| {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle \left\langle  {{{\bar{e}}}_{j}}  |  {\bar{a}} \right\rangle =\sum\limits_{j}{{}}{{a}_{j}}\acute{\ }\left| {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle }=\sum\limits_{j}{\left| {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle \left\langle  {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ }  |  {\bar{a}} \right\rangle }</math>
Somit folgt jedoch:
:<math>\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\left| {\bar{p}} \right\rangle \left\langle  {\bar{p}} \right|}=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left| {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle  {\bar{r}} \right|=1</math>  als Vollständigkeits- Relation. Nebenbemerkung: Der Hilbertraum der Zustände hat unendliche Dimension.
Als Grenzwert definiert man den Dirac- Vektor, als Grenzwert einer diskreten Basis:
:<math>\begin{align}
& \left| {\bar{p}} \right\rangle \notin H \\
& \left| {\bar{p}} \right\rangle :=\begin{matrix}
\lim   \\
\Delta p\to 0  \\
\end{matrix}\left| \bar{p},\Delta \bar{p} \right\rangle  \\
\end{align}</math>
Eigenschaften der Funktionen, die H aufspannen:
=====Dual:=====
:<math>\left\langle  \Psi  \right|=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\left\langle  \Psi  | {\bar{p}} \right\rangle }\left\langle  {\bar{p}} \right|=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\langle  \Psi  | {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle  {\bar{r}} \right|</math>
Man spricht auch vom " Einschieben einer 1!".
:<math>\left\langle  \Psi  | {\bar{r}} \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\left\langle  \Psi  | {\bar{p}} \right\rangle }\left\langle  {\bar{p}} | {\bar{r}} \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p}\tilde{\Psi }(\bar{p})*{{\left( 2\pi \hbar  \right)}^{-\tfrac{3}{2}}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}=\left\langle  {\bar{r}} | \Psi  \right\rangle *=\Psi (\bar{r})*</math>
=====Skalarprodukt:=====
:<math>\left\langle  {{\Psi }_{1}} | {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\langle  {{\Psi }_{1}} | {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle  {\bar{r}} | {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r}{{\Psi }_{1}}(\bar{r})*{{\Psi }_{2}}(\bar{r})=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p}{{\tilde{\Psi }}_{1}}(\bar{p})*{{\tilde{\Psi }}_{2}}(\bar{p})</math>
=====Norm:=====
:<math>\left\| \Psi  \right\|={{\left[ \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\langle  \Psi  | {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle  {\bar{r}} | \Psi  \right\rangle  \right]}^{\frac{1}{2}}}={{\left[ \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r{{\left| \Psi (\bar{r}) \right|}^{2}}} \right]}^{\frac{1}{2}}}</math>
Alle Funktionen im Hilbertraum müssen also insbesondere quadratintegrabel sein.
Somit folgt:
:<math>H=L{}^\text{2}({{R}^{3}})=\left\{ \Psi :{{R}^{3}}\to C\left| {} \right.\left[ \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r{{\left| \Psi (\bar{r}) \right|}^{2}}<\infty } \right] \right\}</math>
Nebenbemerkung:
Die Linearität des Vektorraumes garantiert das Superpositionsprinzip für Wellenfunktionen!