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Zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung und stationäre Zustände
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====Ehrenfest- Theorem==== Nach dem Ehrenfestschen Theorem (Siehe III: Statistische Physik) gilt mit :<math>\begin{align} & \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =0 \\ & \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{r}}} \right\rangle =0 \\ \end{align}</math> auch :<math>\begin{align} & \left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =m\frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{r}}} \right\rangle =0 \\ & \left\langle \nabla V \right\rangle =-\frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =0 \\ \end{align}</math> <u>'''Bemerkungen'''</u> 1. Die Energie- Eigenwerte E des Hamilton- Operators <math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}+V</math> sind reell. Beweis: Nach § 1.4 gilt: :<math>\left\{ \Psi *\hat{H}\Psi -\left( \hat{H}\Psi \right)*\Psi \right\}=-i\hbar \nabla \cdot \bar{j}</math> :<math>\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\left\{ \Psi *\hat{H}\Psi -\left( \hat{H}\Psi \right)*\Psi \right\}{{d}^{3}}r=-i\hbar \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\nabla \cdot \bar{j}{{d}^{3}}r=-i\hbar \int_{\partial {{R}^{3}}}^{{}}{{}}\bar{j}\cdot d\bar{f}</math> Der Rand des R³ liegt jedoch im Unendlichen. Aus Gründen der Normierbarkeit muss der Strom dort jedoch verschwinden. Also gilt: :<math>\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\left\{ \Psi *\hat{H}\Psi -\left( \hat{H}\Psi \right)*\Psi \right\}{{d}^{3}}r=-i\hbar \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\nabla \cdot \bar{j}{{d}^{3}}r=-i\hbar \int_{\partial {{R}^{3}}}^{{}}{{}}\bar{j}\cdot d\bar{f}=0</math> Andererseits aber gilt: :<math>\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\Psi *\hat{H}\Psi {{d}^{3}}r=E</math> :<math>\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\left( \hat{H}\Psi \right)*\Psi {{d}^{3}}r=\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\left( E\Psi \right)*\Psi {{d}^{3}}r=E*</math> Also folgt: :<math>E=E*</math> Für ein komplexes E mit :<math>E={{E}_{1}}+i{{E}_{2}}</math> wäre <math>{{\left| {{\Psi }_{E}} \right|}^{2}}\acute{\ }={{e}^{2\frac{{{E}_{2}}}{\hbar }t}}{{\left| {{\phi }_{E}} \right|}^{2}}</math>und würden für E2 <0 zerfallen (und für E2 > 0 explodieren!) Somit folgt bereits aus der Kontinuitätsgleichung, dass alle Energieeigenwerte reell sind!! 2. Die Energie- Eigenzustände sind scharf in der Energie, jedoch beliebig unscharf in der Zeit: :<math>\left\langle {\hat{H}} \right\rangle =E</math>Erwartungswert= Eigenwert Unschärfe: <math>\Delta H:=\sqrt{\left\langle {{\left( \hat{H}-\left\langle {\hat{H}} \right\rangle \right)}^{2}} \right\rangle }=\sqrt{\left\langle \left\langle {{\left( {\hat{H}} \right)}^{2}} \right\rangle -{{\left\langle {\hat{H}} \right\rangle }^{2}} \right\rangle }=\sqrt{{{E}^{2}}-{{E}^{2}}}=0</math> E und t sind wie <math>\hat{\bar{p}},\hat{\bar{q}}</math>zueinander konjugierte Variablen, jedoch keine Operatoren! Dies ist analog zur Situation, dass der Impuls in Impuls- Eigenzuständen beliebig scharf ist. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann ortsunabhängig (also beliebig unscharf im Ort, also: gleichverteilt!, konstant!): :<math>\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\Psi *\frac{\hbar }{i}\nabla \Psi {{d}^{3}}r=\hbar \bar{k}\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\Psi *\Psi {{d}^{3}}r=\hbar \bar{k}</math> scharf :<math>{{\left| \phi (\bar{r}) \right|}^{2}}=1</math>unabhängig von r Dies läuft analog zur klassischen Mechanik. Dort bedingt die Zeittranslationsinvarianz der Hamiltonfunktion eine Erhaltung der Energie (E Erhaltungsgröße) und die Ortstranslationsinvarianz der Hamiltonfunktion bedingt eine Impulserhaltung. Die Bedingung der Normierbarkeit schränkt die zulässigen Werte der Energie deutlich ein. Randbedingungen à Eigenwertproblem!
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