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Zeitabhängige Störungsrechnung
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== Zeitunabhängige Störung: == :<math>\hat{V}=const.</math> : :<math>\begin{align} & {{g}_{n}}^{(1)}(t)=-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)\tau }{\hbar } \right)}}\left\langle n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle =-\left\langle n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}} \\ & {{\left| {{g}_{n}}^{(1)}(t) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}\left\{ \frac{{{e}^{\left( -i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}} \right\}\left\{ \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}} \right\}:={{\left| \left\langle n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}\left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i\Omega t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i\Omega t \right)}}-1 \right)}{{{\Omega }^{2}}{{\hbar }^{2}}} \right\} \\ & \Omega :=\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)}{\hbar } \\ & \Rightarrow {{\left| {{g}_{n}}^{(1)}(t) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}\frac{2\left( 1-\cos \Omega t \right)}{{{\Omega }^{2}}{{\hbar }^{2}}}={{\left| \left\langle n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}\frac{4{{\sin }^{2}}\frac{\Omega }{2}t}{{{\Omega }^{2}}{{\hbar }^{2}}} \\ & \frac{4{{\sin }^{2}}\frac{\Omega }{2}t}{{{\Omega }^{2}}{{\hbar }^{2}}}:={{D}_{t}}\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right) \\ & \Rightarrow {{\left| {{g}_{n}}^{(1)}(t) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}{{D}_{t}}\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right) \\ \end{align}</math> Die Größe<math>\Omega :=\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)}{\hbar }</math> heißt Übergangsfrequenz. Und bezieht sich auf den Übergang von <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math> auf <math>\left| n \right\rangle </math> : [[Datei:Sign squared.png]] Für die Darstellung der Übergangswahrscheinlichkeit um die optimale Energie gilt (grafisch): :<math>\begin{align} & {{D}_{t}}(0)={{\left( \frac{t}{\hbar } \right)}^{2}} \\ & \begin{matrix} \lim \\ t\to \infty \\ \end{matrix}\left( {{D}_{t}}(0) \right)=\infty \\ & \int_{-\infty }^{\infty }{{{D}_{t}}(E)}=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dE\frac{4{{\sin }^{2}}\left( \frac{Et}{2\hbar } \right)}{{{E}^{2}}}=\frac{2t}{\hbar }\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\xi \frac{{{\sin }^{2}}\xi }{{{\xi }^{2}}} \\ & \int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\xi \frac{{{\sin }^{2}}\xi }{{{\xi }^{2}}}=\pi \\ & \Rightarrow \int_{-\infty }^{\infty }{{{D}_{t}}(E)}=\frac{2\pi }{\hbar }t \\ \end{align}</math> Also: :<math>\begin{align} & {{D}_{t}}(E)=:\frac{2\pi }{\hbar }t{{\delta }_{t}}(E) \\ & \begin{matrix} \lim \\ t\to \infty \\ \end{matrix}{{D}_{t}}(E)=\frac{2\pi }{\hbar }t\delta (E) \\ \end{align}</math> Grafisch [[Datei:Sign squared.gif]] :<math>\Rightarrow {{\left| \left\langle n \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}}(t) \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|{{{\hat{H}}}^{1}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}\cdot t\cdot {{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}})</math> Für <math>t\to \infty </math> Energieerhaltung: <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}=0</math> Für <math>t<\infty </math> hat <math>{{D}_{t}}(E)=:\frac{2\pi }{\hbar }t{{\delta }_{t}}(E)</math> die Breite <math>\Delta E\cong \frac{4\pi \hbar }{t}</math> Damit folgt die Energie- Zeit Unschärferelation: :<math>\Delta Et\cong 4\pi \hbar </math> '''Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit (von '''<math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math> auf <math>\left| n \right\rangle </math>) : :<math>{{W}_{nn0}}=\frac{d}{dt}{{\left| \left\langle n \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|{{{\hat{H}}}^{1}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}{{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}})</math> Mit dem Übergangsmatrixelement :<math>\left\langle n \right|{{\hat{H}}^{1}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math> und einer quadratischen Sinc- Funktion, <math>{{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}})</math> (siehe obige Definitionen) die die Übergangswahrscheinlichkeit auf absorbierte Quanten mit einer Energie <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math> beschränkt, so lange deren Abweichung von <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math> noch der Unschärfe genügt (Die Wahrscheinliochkeit sinkt dann entlang einer Sinc²- Funktion um <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math> ab, für Quantenenergien, die von <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math> verschieden sind. Diese "Distribution" wird für unendlich lange Lebensdauern zur Delta- Funktion! Dies ist Fermis Goldene Regel, abgeleitet aus der Störungstheorie 1. Ordnung. Dabei gilt: :<math>\begin{align} & {{\delta }_{t}}\to \delta \\ & f\ddot{u}r\quad t\to \infty \\ \end{align}</math>
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