Editing Weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung (section)

== Relativistische Notation ==

kontravarianter Vierervektor{{FB|Vierervektor}} mit Index oben

{{NumBlk|:|	

:<math>{{x}^{\mu }}\leftrightarrow \left( {{x}^{0}},{{x}^{1}},{{x}^{2}},{{x}^{3}} \right):=\left( ct,x,y,z \right)=\left( ct,\underline{x} \right)</math>

:	|(1.50)|RawN=.}}

kovarianter Vierervektor mit Index unten <font size = "1">''(kow steht below)''</font>

{{NumBlk|:|	

:<math>{{x}_{\mu }}=\left( {{x}_{0}},{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}} \right):=\left( ct,-x,-y,-z \right)=\left( ct,-\underline{x} \right)</math>

:	|(1.51)|RawN=.}}

* Das relativistische Skalarprodukt
{{NumBlk|:|	

:<math>{{x}_{\mu }}{{x}^{\mu }}=\sum\limits_{\mu =0}^{4}{{{x}_{\mu }}{{x}^{\mu }}={{c}^{2}}{{t}^{2}}-{{{\underline{x}}}^{2}}}</math>

:	|(1.52)|RawN=.}}

bleibt invariant unter Lorentz-Transformation.

* Metrischer Tensor
* <math>{{g}_{\mu }}_{\nu }={{g}^{\mu }}^{\nu }=diag\left( 1,-1,-1,-1 \right)</math>
* in der SRT der selbe überall
* Hoch und Runterziehen<math>{{x}_{\mu }}={{g}_{\mu }}_{\nu }{{x}^{\nu }}\quad {{x}^{\mu }}={{g}^{\mu }}^{\nu }{{x}_{\nu }}</math>
* Lorentz-Transformation wie in (1.11) (Bewegung in x-Richtung)
* 
:<math>\begin{align}

& ct'=\gamma ct-\gamma \beta x \\

& x'=-\beta \gamma ct+\gamma x \\

\end{align}</math>

{{NumBlk|:|allgemein	<math>x{{'}_{\mu }}={{L}^{\mu }}_{\nu }{{x}^{\nu }}</math>

	|(1.53)|RawN=.}}

hier mit <math>{{L}^{\mu }}_{\nu }=\left( \begin{matrix}

\gamma  & -\beta \gamma  & 0 & 0  \\

-\beta \gamma  & \gamma  & 0 & 0  \\

0 & 0 & 1 & 0  \\

0 & 0 & 0 & 1  \\

\end{matrix} \right)</math>.

* Invarianz von <math>{{x}_{\mu }}{{x}^{\mu }}</math>unter Lorentz-Transformationen:
{{NumBlk|:|	<math>x{{'}_{\mu }}x{{'}^{\mu }}={{g}_{\mu }}_{\nu }x{{'}^{\nu }}x{{'}^{\mu }}={{g}_{\mu }}_{\nu }{{L}^{\nu }}_{\alpha }{{x}^{\alpha }}{{L}^{\mu }}_{\beta }{{x}^{\beta }}={{g}_{\alpha }}_{\beta }{{x}^{\alpha }}{{x}^{\beta }}={{x}_{\beta }}{{x}^{\beta }}</math>

	|(1.54)|RawN=.}}

Für Vierervektoren<math>{{a}^{\mu }}</math>, die sich wie der Koordinatenvektor <math>{{x}^{\mu }}</math> bei Lorentz-Transformation transformieren(1.53), ist <math>{{a}_{\mu }}{{a}^{\mu }}</math>Lorentz-invariant.

Gradient{{FB|Vierergradient}} (etc)

{{NumBlk|:|	

:<math>\begin{align}

& {{\partial }^{\nu }}=\frac{\partial }{\partial {{x}_{\nu }}}\quad \text{kontravarianter Vierergradient} \\

& {{\partial }_{\nu }}=\frac{\partial }{\partial {{x}^{\nu }}}\quad \text{kovarianter Vierergradient} \\

\end{align}</math>

:	|(1.55)|RawN=.}}

Die Dirac-Gleichung folgt aus

:<math>\begin{align}

& \left( \mathfrak{i} {{\partial }_{t}}-\underline{\alpha }\frac{1}{\mathfrak{i} }\underline{\nabla }-\beta m \right)\Psi =0\quad |\centerdot \beta  \\

& \left( \mathfrak{i} {{\gamma }^{0}}\underbrace{{{\partial }_{t}}}_{{{\partial }_{0}}}+\frac{1}{\mathfrak{i} }\sum\limits_{k=1}^{3}{{{\gamma }^{k}}\underbrace{{{\partial }_{{{x}^{k}}}}}_{{{\partial }_{k}}}} \right)\Psi =0 \\

\end{align}</math>

{{NumBlk|:|{{FB|Dirac-Gleichung}}	

:<math>\left( \mathfrak{i} {{\gamma }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}-m \right)\Psi =0</math>

:	|(1.56)|RawN=.|Border=1}}

* Relativistische Invarianz: Gleiche Form der Dirac-Gleichun in zwei System S,S‘ (die sich gleichförmig gegeneinander bewegen) aber nicht Invarianz der Dgl. gegenüber Lorentz-Transformationen
Es muss also gelten

{{NumBlk|:|	

:<math>\left( \mathfrak{i} {{\gamma }^{\nu }}{{\partial }_{\nu }}-m \right)\Psi =0\ \left( \text{in S} \right)\quad \left( \mathfrak{i} \gamma {{'}^{\nu }}\partial {{'}_{\nu }}-m' \right)\Psi '=0\ \left( \text{in S }\!\!'\!\!\text{ } \right)</math>

:	|(1.57)|RawN=.}}

(Hier ohne Vektorpotential, mit Vektorpotential A analog, vgl. Rollnik II)