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Variationsprinzipien
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==Idee== [[File:Variation.png|miniatur]] Die bisher betrachteten Variationen waren '''differenziell'''. Derart wurden sie beim '''d´Alembertschen Prinzip''' angewendet. (Differenzielle Variation: :<math>\delta {{\vec{r}}_{i}}</math> Beim '''Hamiltonschen Prinzip''' dagegen wird die '''gesamte Bahn variiert''': :<math>{{\vec{r}}_{i}}(t)</math> Hat man also eine Bahn gefunden, so variiert man diese, indem eine beliebige, gänzlich von der ersten Bahn verschiedene Bahn betrachtet wird. Lediglich Anfangs- und Endpunkt zu den Messzeiten <math>t_1</math> und <math>t_2</math> werden festgehalten. '''Grundidee''' des Hamiltonschen Prinzips ist, dass die wirklich angenommene Bahn eine bestimmte GrĂśĂe, nämlich die sogenannte Wirkung der Bahn, '''extremal''' macht. {{Beispiel|Fermatsches Prinzip [[File:Snells law.svg|miniatur]] Dieses Phänomen ist bei der Lichtausbreitung als Fermatsches Prinzip bekannt. In der geometrischen Optik gibt es die Moeglichkeit, einen Lichtweg zu finden, indem das Fermatsche Prinzip berĂźcksichtigt wird. Demnach sucht sich Licht immer den kĂźrzesten W4eg in einer Anordnung von Spiegeln und brechenden Gläsern mit Brechungsindex n(r) Vorsicht! Das Licht sucht sich demnach den kĂźrzesten Optischen Weg, also den Weg, der in der kĂźrzesten Dauer zurĂźckgelegt werden kann (Das Licht bewegt sich entlang der lichtartigen Geodäten). Sei der Brechungsindex :<math>n(\vec{r})=\frac{c}{{{c}_{0}}}</math> So gilt: :<math>\delta \int\limits_{1}^{2}{ds}n(\vec{r})=0</math> als Bedingung an den tatsächlich zwischen 1 und 2 angenommenen Weg.}} {{Beispiel| [[File:Spherical triangle.svg|miniatur]] Betrachten wir ein Teilchen im kräftefreien Fall, so gilt, dass die Bewegung auf Geodäten stattfindet. Dies sind die kĂźrzesten Verbindungen zwischen zwei Punkten, bei Kugeln beispielsweise die GroĂkreise. Gemäà der allgemeinen Relativitätstheorie verzerren Masseansammlungen den Raum derartig (die Metrik des Raumes), dass alle Teilchenbahnen Geodäten werden. Unabhängig davon, ob Kräfte vorliegen oder nicht.}}
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