Editing Streuamplitude und Streuquerschnitt (section)

==Wirkungsquerschnitt==

Macht Sinn als Definition entsprechend einer Streuung eines Teilchenstrahls an einem undurchdringlichen Streuzentrum.

Dabei ist definiert:

:<math>\frac{Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}=\frac{\sigma }{Strahlfl\ddot{a}che}</math>

{{FB|Strahlfläche}}:= Fläche, auf die der Strahl trifft 


:<math>\sigma </math>: streuende Fläche

Die Definition läßt sich verallgemeinern auf weiche Streuzentren:

Mn spricht dann vom Wirkungsquerschnitt (wie vom Streuquerschnitt)

:<math>\sigma </math>


:<math>\sigma :=\frac{Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec ./c{{m}^{2}}}=\frac{Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}c{{m}^{2}}</math>

Man muss aber, um Probleme behandeln zu können, den differenziellen Wirkungsquerschnitt betrachten

:<math>\frac{d\sigma }{d\Omega }=\frac{Zahl(gestreut)in\ d\Omega \ ({{{\bar{e}}}_{r}})/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec ./c{{m}^{2}}}=\frac{Zahl(gestreut)in\ d\Omega \ ({{{\bar{e}}}_{r}})/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}c{{m}^{2}}</math>



:<math>d\sigma =\frac{{{\left( {{{\bar{j}}}_{s}} \right)}_{r}}{{r}^{2}}d\Omega }{\left| {{{\bar{j}}}_{e}} \right|}</math>

:<math>d\Omega :=\sin \vartheta \ d\vartheta \ d\phi </math>


Zur einlaufenden Welle:

:<math>{{\Psi }_{e}}(\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}</math>
 gehört, wie bereits abgeleitet wurde, die Stromdichte:

:<math>{{\bar{j}}_{e}}=\frac{\hbar }{2im}\left( {{\Psi }_{e}}*\nabla {{\Psi }_{e}}-{{\Psi }_{e}}\nabla {{\Psi }_{e}}* \right)=\frac{\hbar \bar{k}}{m}{{\Psi }_{e}}{{\Psi }_{e}}*=\frac{\hbar \bar{k}}{m}{{\left| \Psi  \right|}^{2}}</math>

Zur Streuwelle in Richtung <math>{{\bar{e}}_{r}}=\frac{{\bar{r}}}{r}</math>

also: <math>{{\Psi }_{S}}(\bar{r})=f({{\bar{e}}_{r}})\frac{{{e}^{ikr}}}{r}</math>

gehört die Radialkomponente der Stromdichte:

:<math>\begin{align}
  & {{\left( {{{\bar{j}}}_{s}} \right)}_{r}}=\frac{\hbar }{2im}\left( {{\Psi }_{S}}*\frac{\partial }{\partial r}{{\Psi }_{S}}-{{\Psi }_{S}}\frac{\partial }{\partial r}{{\Psi }_{S}}* \right)=\frac{\hbar }{2im}{{\left| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right|}^{2}}\left( \frac{{{e}^{-ikr}}}{r}\frac{\partial }{\partial r}\frac{{{e}^{ikr}}}{r}-\frac{{{e}^{ikr}}}{r}\frac{\partial }{\partial r}\frac{{{e}^{-ikr}}}{r} \right) \\ 
 & \Rightarrow {{\left( {{{\bar{j}}}_{s}} \right)}_{r}}=\frac{\hbar }{2im}{{\left| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right|}^{2}}\left( \frac{{{e}^{-ikr}}}{r}\left( \frac{ik}{r}-\frac{1}{{{r}^{2}}} \right){{e}^{ikr}}-\frac{{{e}^{ikr}}}{r}\left( -\frac{ik}{r}-\frac{1}{{{r}^{2}}} \right){{e}^{-ikr}} \right)=\frac{\hbar \bar{k}}{m{{r}^{2}}}{{\left| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right|}^{2}} \\ 
\end{align}</math>

Somit ergibt sich die einfache Form des {{FB|differenziellen Wirkungsquerschnitts}}:
:<math>\frac{d\sigma }{d\Omega }={{\left| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right|}^{2}}</math>


Und der {{FB|totale Wirkungsquerschnitt}} folgt zu
:<math>{{\sigma }_{tot.}}=\int_{{}}^{{}}{d\Omega }{{\left| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right|}^{2}}</math>

Mit der {{FB|Streuamplitude}}
:<math>f({{\bar{e}}_{r}})=-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{1}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{e}^{-ik\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}}}}V(\bar{r}\acute{\ }){{\Psi }^{(+)}}(\bar{r}\acute{\ })</math>