Editing Operatoren im Hilbertraum (section)

====Verallgemeinerung====
Sei<math>F(\bar{r},\bar{p})</math>eine klassische Observable, beispielsweise der Impuls, die Energie, der Drehimpuls,...),

so ergibt sich F als Operator in der Ortsdarstellung:

:<math>F(\bar{r},\bar{p})\to \hat{F}(\hat{\bar{r}},\tfrac{\hbar }{i}\nabla )</math>

Der abstrakte (darstellungsfreie Operator) folgt durch Aufintegration der Projektionen (Einschub des Vollständigen Satzes von Eigenfunktionen, auf die projiziert wird, Einschub einer Eins):

:<math>\hat{F}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \hat{F}(\hat{\bar{r}},\tfrac{\hbar }{i}\nabla )\left\langle  {\bar{r}} \right|</math>

Umgekehrt, falls die Observable in abstrakter Operatordarstellung gegeben ist:

:<math>\left| \Phi  \right\rangle :=\hat{F}\left| \Psi  \right\rangle </math>

So folgt für die Ortsdarstellung dieses Zustandes

:<math>\left\langle  {\bar{r}} | \Phi  \right\rangle =\left\langle  {\bar{r}} \right|\hat{F}\left| \Psi  \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle \left\langle  {\bar{r}} \right|\hat{F}\left| \Psi  \right\rangle \left\langle  \bar{r}\acute{\ } \right|=}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left\langle  {\bar{r}} \right|\hat{F}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle \left\langle  \bar{r}\acute{\ }  |  \Psi  \right\rangle }</math>

Auch hier wurde wieder eine 1, also ein vollständiger Satz von Basisfunktionen eingeschoben.

Somit aber:

:<math>\Phi (\bar{r})=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left\langle  {\bar{r}} \right|\hat{F}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle }\Psi (\bar{r}\acute{\ })</math>

Im Allgemeinen werden die Operatoren in speziellen Darstellungen, wie der obigen Ortsdarstellung zu LINEAREN   INTEGRALOPERATOREN (nichtlokal!)

Für die Ortsdarstellung für ein Teilchen im Potenzial F gilt speziell

:<math>\left\langle  {\bar{r}} \right|\hat{F}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle =\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\hat{F}(\bar{r},\frac{\hbar }{i}\nabla )</math> (lokaler Differenzialoperator, Lokalisation an r´)

Übungsweise soll der nichtlokale Hamiltonoperator bestimmt werden.

Ortsoperator:

:<math>\begin{align}

& \hat{\bar{r}}\Psi (\bar{r})=\bar{r}\Psi (\bar{r}) \\

& \hat{\bar{r}}\left\langle  {\bar{r}} | \Psi  \right\rangle =\bar{r}\left\langle  {\bar{r}} | \Psi  \right\rangle  \\

\end{align}</math>

Dabei ist <math>\hat{\bar{r}}</math>der Operator, <math>\left\langle  {\bar{r}} | \Psi  \right\rangle </math>die Eigenfunktion und <math>\bar{r}</math>der Eigenwert.

:<math>\begin{align}

& \left\langle  {\bar{r}} \right|\hat{\bar{r}}\left| \Psi  \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left\langle  {\bar{r}} \right|\hat{\bar{r}}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle }\left\langle  \bar{r}\acute{\ }  |  \Psi  \right\rangle =\bar{r}\left\langle  {\bar{r}} | \Psi  \right\rangle  \\

& \Rightarrow \left\langle  {\bar{r}} \right|\hat{\bar{r}}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle =\bar{r}\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }) \\

\end{align}</math>

In der Impulsdarstellung:

:<math>\begin{align}

& \Phi :=\hat{\bar{r}}\left| \Psi  \right\rangle  \\

& \Phi (\bar{p})\equiv \left\langle  {\bar{p}} | \Phi  \right\rangle =\left\langle  {\bar{p}} \right|\hat{\bar{r}}\left| \Psi  \right\rangle  \\

& \Phi (\bar{p})=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left\langle  {\bar{p}} | {\bar{r}} \right\rangle \left\langle  {\bar{r}} \right|\hat{\bar{r}}\left| \Psi  \right\rangle  \\

& \left\langle  {\bar{p}} | {\bar{r}} \right\rangle =\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar  \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}{{e}^{-i\frac{\bar{p}\bar{r}}{\hbar }}} \\

& \left\langle  {\bar{r}} \right|\hat{\bar{r}}\left| \Psi  \right\rangle =\bar{r}\left\langle  {\bar{r}} | \Psi  \right\rangle  \\

& \Rightarrow \Phi (\bar{p})=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left\langle  {\bar{p}} | {\bar{r}} \right\rangle \left\langle  {\bar{r}} \right|\hat{\bar{r}}\left| \Psi  \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar  \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}{{e}^{-i\frac{\bar{p}\bar{r}}{\hbar }}}\bar{r}\Psi (\bar{r})=\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar  \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\bar{r}{{e}^{-i\frac{\bar{p}\bar{r}}{\hbar }}}\Psi (\bar{r}) \\

& \bar{r}{{e}^{-i\frac{\bar{p}\bar{r}}{\hbar }}}=-\frac{\hbar }{i}{{\nabla }_{p}}\left( {{e}^{-i\frac{\bar{p}\bar{r}}{\hbar }}} \right) \\

& {{\nabla }_{p}}:=\left( \begin{matrix}

\frac{\partial }{\partial {{p}_{x}}}, & \frac{\partial }{\partial {{p}_{y}}}, & \frac{\partial }{\partial {{p}_{z}}}  \\

\end{matrix} \right) \\

& \Rightarrow \Phi (\bar{p})=\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar  \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\bar{r}{{e}^{-i\frac{\bar{p}\bar{r}}{\hbar }}}\Psi (\bar{r})=-\frac{\hbar }{i}{{\nabla }_{p}}\left[ \int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar  \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}}{{e}^{-i\frac{\bar{p}\bar{r}}{\hbar }}}\Psi (\bar{r}) \right] \\

& \frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar  \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}{{e}^{-i\frac{\bar{p}\bar{r}}{\hbar }}}=\left\langle  {\bar{p}} | {\bar{r}} \right\rangle  \\

& \Rightarrow \Phi (\bar{p})=-\frac{\hbar }{i}{{\nabla }_{p}}\left[ \int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\langle  {\bar{p}} | {\bar{r}} \right\rangle \left\langle  {\bar{r}} | \Psi  \right\rangle } \right]=-\frac{\hbar }{i}{{\nabla }_{p}}\tilde{\Psi }(\bar{p}) \\

\end{align}</math>

Also: Für die Impulsdarstellung des Ortsoperators gilt:

:<math>\hat{\bar{r}}\to -\frac{\hbar }{i}{{\nabla }_{p}}</math>