Editing Lippmann- Schwinger- Gleichung (section)

==stationäre Streuung==
Im Falle {{FB|stationärer Streuung}} erhalten wir:

:<math>\hat{H}\left| \Psi  \right\rangle =E\left| \Psi  \right\rangle .</math>

:<math>\left| \Psi  \right\rangle </math> beschreibt ein am Anfang einlaufendes Teilchen (ohne Wechselwirkung), die anschließende Streuung und schließlich wieder auseinanderlaufende Teilchen:
BILD WW: Streuung

Stationär bedeutet hier: Das Gleichgewicht hat sich bereits eingeregelt. Der Prozess ist zeitlich stationär, weil jede Veränderung an einem Teilchenzustand 1 durch ein nachrückendes Teilchen, dessen Zustand sich in den des ersten (Zustand 1) begibt, aufgefüllt wird.

Die {{FB|Schrödingergleichung}} lautet:

:<math>\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)\left| \Psi  \right\rangle ={{\hat{H}}^{(1)}}\left| \Psi  \right\rangle </math>

Erster Schritt bei derartigen Problemen: Isolation der Störung!


Die formale Lösung kann angegeben werden mittels:
:<math>\begin{align}

& \left| \Psi  \right\rangle =\left| \Phi  \right\rangle +\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)}{{{\hat{H}}}^{(1)}}\left| \Psi  \right\rangle  \\

& \frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)}:={{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)}^{-1}} \\

\end{align}</math>

Die Division zwischen 1 und dem Operator der linken Seite ist dabei als Ausführung der {{FB|inversen Operation}} zu verstehen!

:<math>\left| \Phi  \right\rangle </math>

ist eine beliebige Lösung der wechselwirkungsfreien Gleichung

:<math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-E \right)\left| \Phi  \right\rangle =0</math>

===Beweis===

:<math>\begin{align}

& \left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)\left| \Psi  \right\rangle =\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)\left| \Phi  \right\rangle +\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)}{{{\hat{H}}}^{(1)}}\left| \Psi  \right\rangle  \\

& \left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)}:=1 \\

& \Rightarrow \left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)\left| \Psi  \right\rangle ={{{\hat{H}}}^{(1)}}\left| \Psi  \right\rangle \Leftrightarrow \left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)\left| \Phi  \right\rangle =0 \\

\end{align}</math>

===Bemerkung===

Die Gleichung <math>\left| \Psi  \right\rangle =\left| \Phi  \right\rangle +\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)}{{\hat{H}}^{(1)}}\left| \Psi  \right\rangle </math>

ist dabei eine Integralgleichung, beispielsweise in der Ortsdarstellung:

:<math>\left\langle  {\bar{r}}  |  \Psi  \right\rangle =\left\langle  {\bar{r}}  |  \Phi  \right\rangle +\int_{{}}^{{}}{\int_{{}}^{{}}{{}}}\left\langle  {\bar{r}} \right|\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle \left\langle  \bar{r}\acute{\ } \right|{{\hat{H}}^{(1)}}\left| \bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right\rangle \left\langle  \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }  |  \Psi  \right\rangle {{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }{{d}^{3}}r\acute{\ }</math>