Editing Lösungen der Dirac-Gleichung (freies Teilchen) (section)

=={{FB|Separationsansatz}} ==
:<math>\Psi \left( \underline{x},t \right)={{e}^{-\mathfrak{i} Et}}\phi \left( {\underline{x}} \right)</math>
{{NumBlk|:|	

:<math>\left[ \Epsilon {{\gamma }^{0}}+\mathfrak{i} \left( {{\gamma }^{1}}{{\partial }_{1}}+{{\gamma }^{2}}{{\partial }_{2}}+{{\gamma }^{3}}{{\partial }_{3}} \right)-m \right]\phi \left( {\underline{x}} \right)=0</math> |(1.66)|RawN=.}}

Ansatz <math>\phi \left( {\underline{x}} \right)=\phi =const\Rightarrow \left( E{{\gamma }^{0}}-m \right)\phi =0</math> (Eigenwertgleichung)

:<math>{{\gamma }^{0}}\phi =\frac{m}{E}\phi \Leftrightarrow \left( \begin{matrix}

1 & {} & {} & {}  \\

{} & 1 & {} & {}  \\

{} & {} & -1 & {}  \\

{} & {} & {} & -1  \\

\end{matrix} \right)\phi =\frac{m}{E}\phi \,</math>

:	(hat 2 Eigenwerte)

{{NumBlk|:|	

:<math>\frac{m}{E}=+1\Leftrightarrow {{\phi }_{+}}=\left( \begin{align}

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

& 0 \\

& 0 \\

\end{align} \right)\quad und\quad \frac{m}{E}=-1\Leftrightarrow {{\phi }_{-}}=\left( \begin{align}

& 0 \\

& 0 \\

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

\end{align} \right)</math>

:	|(1.67)|RawN=.}}


=== Diskussion ===

* <math>{{\Psi }_{+}}={{e}^{-\mathfrak{i} Et}}\left( \begin{align}
   & {{u}_{1}} \\
  & {{u}_{2}} \\
  & 0 \\
  & 0 \\
 \end{align} \right),\quad E=+m{{c}^{2}}</math>, zwei linear unabhängige Lösungen  beschreibt ruhendes Teilchen der Masse m, Ruheenergie <math>E=m{{c}^{2}}>0</math>
* <u>Zwei</u> Komponenten u<sub>1</sub>, u<sub>2</sub> beschreiben Spin - ½, z.B.
{{NumBlk|:|	

:<math>\left( \begin{align}

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

\end{align} \right)=\left( \begin{align}

& 1 \\

& 0 \\

\end{align} \right)=\left| \uparrow  \right\rangle \quad \left( \begin{align}

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

\end{align} \right)=\left( \begin{align}

& 0 \\

& 1 \\

\end{align} \right)=\left| \downarrow  \right\rangle </math>

:	|(1.68)|RawN=.}} &rarr; Dirac-Gleichung beschreibt Spin- ½ Teilchen.

* {{NumBlk|:|	<math>{{\Psi }_{-}}={{e}^{-\mathfrak{i} Et}}\left( \begin{align}
   & 0 \\
  & 0 \\
  & {{u}_{1}} \\
  & {{u}_{2}} \\
 \end{align} \right),\quad E=-m{{c}^{2}}</math>zwei linear unabhängige Lösungen	|(1.69)|RawN=.}} hat aber negative Energie! Interpretationsproblem wie Klein-Gordon-Gleichung. Zufriedenstellend gelöst erst in der Quantenfeldtheorie (Teilchenerzeugung und Vernichtung).



'''„Anschauliche Interpretation“'''

* Annahme vieler gleichartiger Spin- ½ -Teilchen der Masse m
* Annahme: Es gibt einen Vielteilchen-Grundzustand („{{FB|Vakuumzustand}}“), in dem alle Einzelteilchenzustände <math>{{\Psi }_{-}}</math>besetzt sind.
* Ein einziges Elektron ist dann z.B. das Vakuum +1 Teilchen in einem Zustand <math>{{\Psi }_{+}}</math>.
* „{{FB|Teilchen-Loch}}“ Anregung: Anregung von <math>{{\Psi }_{+}}</math> nach <math>{{\Psi }_{-}}</math> lässt „Loch“ im „{{FB|Fermi-See}}“ zurück: dies hat positive Ladung (fehlende negative Ladung)
* nützliches Konzept für die Halbleiterphysik

'''Vorteile der Löcher-Theorie:'''

* Vorrausage des {{FB|Positron}} (Antiteilchen zum Elektron, gleiche Masse, entgegengesetzte Ladung)
* Paarvernichtung / Erzeugung

'''Nachteile der Löcher-Theorie:'''

* Unendlicher See nicht beobachteter Elektronen
* Beruht auf „Paul-Prinzip“ und funktionier bei der Klein-Gordon-Gleichung, die Bosonen mit Spin 0 beschreibt nicht.
&rarr; konsistente Lösung dieses Problems in der zweiten Quantisierung (letzer Teil VL): <math>\Psi </math> als Feld, das quantisiert wird.