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Kräftefreie Schrödingergleichung
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===Kräftefreie Schrödingergleichung=== ''(Keine äußeren Potenziale)'' Die Bewegungsgleichung für die Materiewellenfunktion :<math>\Psi (\bar{r},t)</math> soll die folgenden Postulate erfüllen: # Sie soll eine DGL 1.Ordnung in der zeit sein, damit <math>\Psi (\bar{r},t)</math> durch die Anfangsverteilung <math>\Psi (\bar{r},0)</math> bestimmt ist ( der qm. Zustand ist vollständig durch <math>\Psi (\bar{r},t)</math> festgelegt). # Sie soll linear in <math>\Psi (\bar{r},t)</math> sein, damit das Superpositionsprinzip gilt. # Außerdem soll sie homogen sein. #:Durch das Superpositionsprinzip sind Linearkombinationen von Lösungen wieder Lösungen. Damit werden die Interferenzeffekte mathematisch greifbar. # Die Gleichung soll keine speziellen Bewegungsgrößen wie <math>E,\bar{p}</math> enthalten. Nur so können Wellenpakete durch Überlagerung verschiedener <math>\bar{p}</math> Werte gebildet werden. # Ebene Wellen: <math>\Psi (\bar{r},t)={{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\omega t)}}</math> mit <math>\omega (k)=\frac{\hbar {{k}^{2}}}{2m}</math> sollen Lösung sein. Dabei gilt <math>\omega (k)=\frac{\hbar {{k}^{2}}}{2m}</math> wegen des Zusammenhangs <math>E=\hbar \omega ,p=\hbar k,E=\frac{{{p}^{2}}}{2m}</math> Somit auch für Photonen: :<math>\begin{align} & E=pc=\hbar \omega ,p=\hbar k \\ & \Rightarrow \frac{\omega }{k}=c \\ \end{align}</math> Also ergibt sich: :<math>\frac{\partial }{\partial t}\Psi =-i\omega \Psi =-i\hbar \frac{{{k}^{2}}}{2m}\Psi =\frac{i}{\hbar }\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \Psi </math> Also: :<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \Psi </math> Dies ist die freie, zeitabhängige Schrödingergleichung <u>'''Bemerkungen'''</u> # Die physikalische Bedeutung der Wellenfunktion <math>\Psi (\bar{r},t)</math>: <math>{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}{{d}^{3}}r</math> ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zur Zeit t im Volumen d³r am Ort <math>\bar{r}</math> zu finden. <math>\Psi (\bar{r},t)=\left| \Psi (\bar{r},t) \right|{{e}^{i\phi (r,t)}}</math> wird Wahrscheinlichkeitsamplitude genannt. Sie ist komplex und besteht aus Betrag und Phase. Dabei sind die relativen Phasen in Interferenzexperimenten beobachtbar. <math>{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}</math> ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte. # Normierung: <math>\int_{V}^{{}}{{}}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}{{d}^{3}}r=1</math> # Die Schrödingergleichung ist ZEITUMKEHRINVARIANT, das heißt zu jedem Bewegungsablauf <math>{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}</math> ist auch der zeitumgekehrte <math>{{\left| \Psi (\bar{r},-t) \right|}^{2}}</math> ein physikalisch möglicher Vorgang: ====Zeitumkehrinvarianz==== Die Transformationsvorschrift lautet: :<math>\begin{align} & t->-t \\ & i->-i \\ \end{align}</math> Also: :<math>\Psi (\bar{r},t)\to \Psi *(\bar{r},-t)</math> '''Beweis''': :<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \Psi </math> werde gelöst von <math>\Psi (\bar{r},t)</math> Die ganze Gleichung kann natürlich komplex konjugiert werden: :<math>-i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi *=-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \Psi *</math> Ersetzt man nun t durch -t, so folgt: :<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi *(\bar{r},-t)=-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \Psi *(\bar{r},-t)</math> Also: Mit <math>\Psi (\bar{r},t)</math> ist auch <math>\Psi *(\bar{r},-t)</math> Lösung der Schrödingergleichung Zu Punkt 3: Mathematisch bedeutet dies: Alle Transformationen müssen unitär sein ! Physikalisch sind nur unitäre Transformationen, weil man sonst durch Zeitumkehr nicht wieder in den Ausgangszustand zurückkommt !
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