Editing Kovariante Schreibweise der Relativitätstheorie (section)

====Verallgemeinerung====
Für beliebige 4- Vektoren <math>{{a}^{i}}</math>

gilt:

:<math>\begin{align}

& {{a}_{0}}={{a}^{0}} \\

& {{a}_{\alpha }}=-{{a}^{\alpha }}\quad \alpha =1,2,3 \\

\end{align}</math>

Lorentz- Invariante lassen sich als Skalarprodukt <math>{{a}_{i}}{{a}^{i}}</math>

schreiben:

=====Der d´Alemebert-Operator=====
:<math>\#:=\Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}=-\frac{\partial }{\partial {{x}^{i}}}\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}</math>

Mit

:<math>\frac{\partial }{\partial {{x}^{i}}}=\left( \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},\frac{\partial }{\partial {{x}^{\alpha }}} \right)=:{{\partial }_{i}}</math>

kovariant

Die Eigenschaft der Kovarianz wird später aus dem Transformationsverhalten begründet!

:<math>\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}=\left( \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},-\frac{\partial }{\partial {{x}^{\alpha }}} \right)=:{{\partial }^{i}}</math>

kontravariant

→ Die Eigenschaft der Kontravarianz wird später aus dem Transformationsverhalten begründet!

<u>'''Also:'''</u>

:<math>\Rightarrow \ \#=-{{\partial }_{i}}{{\partial }^{i}}</math>

<u>'''Vierergeschwindigkeit'''</u>

:<math>\begin{align}

& {{u}^{i}}:=\frac{d{{x}^{i}}}{ds} \\

& ds={{\left( d{{x}^{i}}d{{x}_{i}} \right)}^{\frac{1}{2}}}={{\left( {{c}^{2}}d{{t}^{2}}-{{\left( d\bar{r} \right)}^{2}} \right)}^{\frac{1}{2}}}=c{{\left[ 1-{{\left( \frac{1}{c}\frac{d\bar{r}}{dt} \right)}^{2}} \right]}^{\frac{1}{2}}}dt \\

& ds:={{\left( 1-{{\beta }^{2}} \right)}^{\frac{1}{2}}}dt=\frac{c}{\gamma }dt \\

\end{align}</math>

Dabei gilt:

:<math>\begin{align}

& \beta :=\frac{v}{c}=\frac{1}{c}\left| \frac{d\bar{r}}{dt} \right| \\

& \gamma :=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} \\

\end{align}</math>

Also:

:<math>\begin{align}

& {{u}^{0}}=\gamma  \\

& {{u}^{\alpha }}=\frac{\gamma }{c}{{v}^{\alpha }}=\frac{1}{c}\frac{d{{x}^{\alpha }}}{d\tau } \\

\end{align}</math>

Mit der Eigenzeit

:<math>d\tau =\frac{dt}{\gamma }</math>

Die Eigenzeit ist als die Zeit im momentanen Ruhesystem zu verstehen!

:<math>{{u}^{i}}{{u}_{i}}=\frac{d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}}{d{{s}^{2}}}=1</math>

ist nicht vom Bezugssystem abhängig, also invariant!

=====Viererimpuls=====
:<math>\begin{align}

& {{p}^{i}}:={{m}_{0}}c{{u}^{i}} \\

& \Rightarrow {{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}{{u}^{i}}{{u}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}} \\

& {{p}^{0}}=\frac{{{m}_{0}}c}{\sqrt{1-{{\left( \frac{v}{c} \right)}^{2}}}}=m(v)c={{p}_{0}} \\

& {{p}^{\alpha }}=\frac{{{m}_{0}}{{v}^{\alpha }}}{\sqrt{1-{{\left( \frac{v}{c} \right)}^{2}}}}=m(v){{v}^{\alpha }}=-{{p}_{\alpha }} \\

\end{align}</math>

Physikalische Bedeutung von <math>{{p}^{0}}</math>

:

Mit der 4-er Kraft: <math>{{k}^{i}}:=\frac{d}{d\tau }{{p}^{i}}</math>

folgt die Leistungsbilanz:

:<math>{{k}^{i}}{{u}_{i}}=\left[ \frac{d}{d\tau }\left( {{m}_{0}}c{{u}^{i}} \right) \right]{{u}_{i}}</math>

Mit Hilfe des Energiesatz kann dies umgewandelt werden zu

:<math>\begin{align}

& {{k}^{i}}{{u}_{i}}=\frac{{{m}_{0}}c}{2}\frac{d}{d\tau }\left( {{u}^{i}}{{u}_{i}} \right)=0 \\

& {{u}^{i}}{{u}_{i}}=1 \\

\end{align}</math>

also lorentzinvariant!

<u>'''Außerdem gilt:'''</u>

:<math>\begin{align}

& {{k}^{i}}{{u}_{i}}=\frac{d}{d\tau }\left( {{p}^{0}} \right){{u}_{0}}+{{k}^{\alpha }}{{u}_{\alpha }}=\gamma \frac{d}{d\tau }\left( {{p}^{0}} \right)+\frac{\gamma }{c}{{k}^{\alpha }}{{v}_{\alpha }}=\frac{\gamma }{c}\left[ \frac{d}{d\tau }\left( c{{p}^{0}} \right)-\bar{k}\bar{v} \right]=0 \\

& \left( c{{p}^{0}} \right)=Energie \\

& \bar{k}\bar{v}=Leistung \\

\end{align}</math>

Somit jedoch folgt eine Bestimmungsgleichung an <math>\left( {{p}^{0}} \right)=\frac{E}{c}</math>
,
 also <math>E=\frac{{{m}_{0}}{{c}^{2}}}{\sqrt{\left( 1-{{\beta }^{2}} \right)}}</math>

als Energie eines relativistischen Teilchens.

Das Skalarprodukt des Viererimpulses liefert lorentzinvariant <math>\begin{align}

& {{p}^{i}}{{p}_{i}}=\frac{{{E}^{2}}}{{{c}^{2}}}-{{{\bar{p}}}^{2}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}} \\

& \bar{p}=\frac{{{m}_{0}}\bar{v}}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} \\

\end{align}</math>

Also folgt an die Energie:

:<math>{{E}^{2}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{\bar{p}}^{2}}</math>

Dies ist die relativistsiche Energie- Impuls- Beziehung