Editing Formaler Aufbau der Quantenmechanik (section)

===Hilbertraum===
{{NumBlk|:|Definition|(2.3)|RawN=.}}: Ein {{FB|Hilbertraum}} ist ein vollständiger unitärer Raum.

{{NumBlk|:|Definition|(2.4)|RawN=.}}: Ein Vektorraum mit Skalarprodukt <math>\left\langle  \Phi  | \Psi  \right\rangle </math> und (induzierter)
Norm <math>\left\| \Psi  \right\|:=\sqrt{\left\langle  \Psi  | \Psi  \right\rangle }</math> heißt {{FB|unitärer Raum}}.

{{NumBlk|:|Definition|(2.5)|RawN=.}}: Eine '''{{FB|Norm}}''' eines komplexen Vektorraums V ist ein Abbildung <math>V\to {{\mathbb{R}}^{+}}</math>, so dass für <math>\Psi ,\Phi \in V</math> gilt

# <math>\left\| \Psi  \right\|\ge 0,\left\| \Psi  \right\|=0\Leftrightarrow \Psi =0</math>
# <math>\left\| c\Psi  \right\|=c\left\| \Psi  \right\|,\quad c\in \mathbb{C}</math>
# <math>\left\| \Psi +\Phi  \right\|\le \left\| \Psi  \right\|+\left\| \Phi  \right\|</math>
{{NumBlk|:|Definition|(2.6)|RawN=.}}: Ein '''{{FB|Skalarprodukt}}''' eines Vektorraums V ist eine Abbildung <math>\left( V,V \right)\to \mathbb{C}</math>, so dass für <math>\psi ,\phi ,\chi \in V</math>gilt:

:<math>\begin{align}

& \left\langle  \psi  | \psi  \right\rangle \ge 0 \\

& \left\langle  \psi +\phi  | \chi  \right\rangle =\left\langle  \psi  | \chi  \right\rangle +\left\langle  \phi  | \chi  \right\rangle  \\

& \left\langle  \psi  | c\phi  \right\rangle =c\left\langle  \psi  | \phi  \right\rangle \quad c\in \mathbb{C} \\

& \left\langle  \psi  | \phi  \right\rangle ={{\left\langle  \phi  | \psi  \right\rangle }^{*}}=\overline{\left\langle  \phi  | \psi  \right\rangle } \\

\end{align}</math>

{{NumBlk|:|Definition|(2.7)|RawN=.}}: Ein Folge <math>\left\{ {{\Psi }_{n}} \right\}</math>in einem normierten Raum heißt {{FB|Cauchy-Folge}}, falls <math>\forall \varepsilon >0\exists N\left( \varepsilon  \right)</math> ganz so dass <math>\forall n,m>N\left( \varepsilon  \right)\Rightarrow \left\| {{\Psi }_{n}}-{{\Psi }_{m}} \right\|<\varepsilon </math>.

{{NumBlk|:|Definition|(2.8)|RawN=.}}: Ein unitärer Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert heißt vollständig{{FB|vollständiger unitärer Raum}}.

Beispiele:

# Hilbertraum <math>\mathcal{H}={{\mathbb{C}}^{n}}</math>, n-dimensionaler komplexer Vektorraum mit Basis <math>{{\underline{e}}_{1}}=\left( \begin{align}
   & 1 \\
  & 0 \\
  & \vdots  \\
  & 0 \\
 \end{align} \right)\quad {{\underline{e}}_{2}}=\left( \begin{align}
   & 0 \\
  & 1 \\
  & \vdots  \\
  & 0 \\
 \end{align} \right)\quad ...\quad {{\underline{e}}_{n}}=\left( \begin{align}
   & 0 \\
  & 0 \\
  & \vdots  \\
  & 1 \\
 \end{align} \right)</math>.
# Hilbertraum <math>{{\mathcal{H}}_{L}}</math>der quadratintegrierbaren Wellenfunktionen eines Potentialtopfes mit unendlich hohen Wänden in 1 Dimension
#
:<math>\Psi \left( {\underline{x}} \right)</math>

auf <math>x\in \left[ 0,L \right],\Psi \left( 0 \right)=\Psi \left( L \right)=0</math>

:<math>-\frac{\hbar }{2m}\Psi '{{'}_{n}}\left( x \right)={{E}_{n}}{{\Psi }_{n}}\left( x \right)</math>

{{NumBlk|:|Basis

:<math>{{\Psi }_{n}}\left( x \right)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{n\pi x}{L} \right),\quad {{E}_{n}}=\frac{{{\left( \hbar n\pi  \right)}^{2}}}{2m{{L}^{2}}},\quad n\in \mathbb{N}</math>

:	|(2.9)|RawN=.}}

Skalarprodukt

:<math>\begin{align}

& \left\langle  \Psi  | \Phi  \right\rangle =\int\limits_{0}^{L}{{{\Psi }^{*}}\left( x \right)\Phi \left( x \right)dx} \\

& \left\langle  {{\Psi }_{n}} | {{\Psi }_{m}} \right\rangle ={{\delta }_{mn}} \\

\end{align}</math>

* {{FB|Vollständigkeit}}:		<math>\Phi \left( x \right)=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\underbrace{\left\langle  {{\Psi }_{n}} | \Phi  \right\rangle }_{\text{Fourierkoeffizient}}{{\Psi }_{n}}\left( {\underline{x}} \right)\quad \forall \Phi \in {{\mathcal{H}}_{L}}}</math>
vergleich mit 		<math>\underline{y}=\sum\limits_{n=1}^{d}{\left\langle  {{{\underline{e}}}_{n}} | {\underline{y}} \right\rangle {{{\underline{e}}}_{n}}\quad k\forall \underline{y}\in {{\mathbb{C}}^{n}}}</math>

<FONT COLOR="#3300CC">(AUFGABE)</FONT>:

# Definiere <math>\Phi \in {{\mathcal{H}}_{L}}</math>mit <math>\Phi \left( x \right)=Nx\left( L-x \right)</math>
# bestimme N so dass <math>\left\| \Phi  \right\|=1</math>
# Beweise die Formel <math>\frac{{{\pi }^{3}}}{32}=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{{{\left( 2k+1 \right)}^{3}}}}</math>
# Beweise die {{FB|Cauchy-Scharz Ungleichung}} <math>\left| \left\langle  \alpha  | \beta  \right\rangle  \right|\le \left\| \alpha  \right\|\left\| b \right\|</math>für <math>\left| \alpha  \right\rangle ,\left| \beta  \right\rangle \in \mathcal{H}</math>
Definition: <math>\left\{ {{\Psi }_{n}} \right\}</math> {{FB|vollständiges Orthogonalsystem}} eins HR<math>\mathcal{H}</math>

{{NumBlk|:|

:<math>\Leftrightarrow \left\langle  {{\Psi }_{n}} | {{\Psi }_{n'}} \right\rangle ={{\delta }_{nn'}}</math>

und <math>\Phi =\sum\limits_{n}{\left\langle  {{\Psi }_{n}} | \Phi  \right\rangle {{\Psi }_{n}}\quad \forall \Phi \in \mathcal{H}}</math>	|(2.10)|RawN=.}}

----

Satz (Parseval)

{{NumBlk|:|

:<math>\Phi =\sum\limits_{n}{\left\langle  {{\Psi }_{n}} | \Phi  \right\rangle {{\Psi }_{n}}\Leftrightarrow {{\left\| \Phi  \right\|}^{2}}=\sum\limits_{n}{{{\left| \left\langle  {{\Psi }_{n}} | \Phi  \right\rangle  \right|}^{2}}}}</math>
:	|(2.11)|RawN=.}}
Bemerkung:
* Vollständige „normierte Räume“ heißen Banachräume{{FB|Banachraum}} (haben kein Skalarprodukt)
* Mehr Details: Funktionalanalysis z.B. Bornstein/Senendajew Taschenbuch der Mathematik, ergänzende Kapitel