Editing Das Photonengas im Strahlungshohlraum (section)

====Übergang zum Quasi- Kontinuum!====
:<math>\begin{align}

& 2\sum\limits_{{\bar{q}}}^{{}}{{}}->\frac{2V}{{{h}^{3}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}\left( \hbar \bar{q} \right)=\frac{8\pi V}{{{\left( 2\pi  \right)}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dq{{q}^{2}}=\frac{8\pi V}{{{\left( 2\pi  \right)}^{3}}{{c}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}d\omega {{\omega }^{2}} \\

& \omega =cq \\

& \omega =2\pi \nu  \\

& \Rightarrow \frac{8\pi V}{{{\left( 2\pi  \right)}^{3}}{{c}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}d\omega {{\omega }^{2}}=\frac{8\pi V}{{{c}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}d\nu {{\nu }^{2}} \\

\end{align}</math>

<u>'''Zustandsdichte der Photonen'''</u>

Somit folgt die Zustandsdichte der Photonen als:

:<math>\begin{align}

& \bar{N}=2\sum\limits_{{\bar{q}}}^{{}}{{}}\left\langle {{N}_{q}} \right\rangle  \\

& \Rightarrow \bar{N}=\frac{8\pi V}{{{\left( 2\pi  \right)}^{3}}{{c}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}d\omega {{\omega }^{2}}\left\langle N(\omega ) \right\rangle =\frac{8\pi V}{{{c}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}d\nu {{\nu }^{2}}\left\langle {{N}_{\nu }} \right\rangle  \\

& \bar{N}:=\int_{0}^{\infty }{{}}d\nu D\left( \nu  \right)\left\langle {{N}_{\nu }} \right\rangle  \\

& \Rightarrow D\left( \nu  \right)=\frac{8\pi V}{{{c}^{3}}}{{\nu }^{2}} \\

& \bar{N}=\frac{8\pi V}{{{c}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}d\nu {{\nu }^{2}}\left\langle {{N}_{\nu }} \right\rangle =\int_{0}^{\infty }{{}}d\nu D\left( \nu  \right)\left\langle {{N}_{\nu }} \right\rangle  \\

& U=\int_{0}^{\infty }{{}}d\nu D\left( \nu  \right)h\nu \left\langle {{N}_{\nu }} \right\rangle  \\

\end{align}</math>

Dabei ist die Energie ein mit dem Volumen skalierter Wert einer spektralen Energiedichte, die über alle Frequenzen integriert wird.

Dem entsprechend ist der Wert der {{FB|spektralen Energiedichte}}, die

{{Gln|'''Plancksche Strahlungsformel'''

:<math>u\left( \nu ,T \right):=\frac{1}{V}D\left( \nu  \right)h\nu \left\langle {{N}_{\nu }} \right\rangle =\frac{8\pi h}{{{c}^{3}}}\frac{{{\nu }^{3}}}{{{e}^{\frac{h\nu }{kT}}}-1}</math>|Plancksche Strahlungsformel}}

<u>'''Grenzfälle'''</u>

:<math>\begin{align}

& h\nu <<kT \\

& u\left( \nu ,T \right)\cong \frac{8\pi h}{{{c}^{3}}}\frac{{{\nu }^{3}}}{\frac{h\nu }{kT}}=\frac{8\pi }{{{c}^{3}}}{{\nu }^{2}}kT \\

\end{align}</math>

klassisches Resultat, '''Rayleigh- Jeans- Gesetz ''' richtig für <math>\nu \to 0</math>
,
 aber: Infrarot- Katastrophe!

:<math>\begin{align}

& h\nu >>kT \\

& u\left( \nu ,T \right)\cong \frac{8\pi h}{{{c}^{3}}}\frac{{{\nu }^{3}}}{{{e}^{\frac{h\nu }{kT}}}}=\frac{8\pi h}{{{c}^{3}}}{{\nu }^{3}}{{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}} \\

\end{align}</math>

W. Wien: empirisches Resultat für <math>\nu \to \infty </math>!

für irdische Lichtquellen, versagt jedoch für Sonne und Fixsterne!

Plancksche Ableitung der Strahlungsformel (1900):

'''Postulat:'''

Strahlungsenergie gequantelt gemäß <math>{{E}_{n}}=nh\nu </math>

in Zustandssumme!

Damit konnte M. Planck erstmals die Strahlung schwarzer Körper (also vollständig absorbierender Strahlungshohlräume im thermodynamischen Gleichgewicht) erklären!

Er konnte damit auch zwischen Rayleigh- Jeans und Wien interpolieren!

* <u>'''historischer Ausgangspunkt der Quantenmechanik!!'''</u>

<u>'''Maximum der spektralen Energiedichte für'''</u>

:<math>\begin{align}

& h\nu >>kT \\

& \frac{\partial u\left( \nu ,T \right)}{\partial \nu }=0=\frac{\partial }{\partial \nu }\frac{8\pi h}{{{c}^{3}}}\frac{{{\nu }^{3}}}{{{e}^{\frac{h\nu }{kT}}}}=\frac{8\pi h}{{{c}^{3}}}\frac{\partial }{\partial \nu }\left( {{\nu }^{3}}{{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}} \right)=\frac{8\pi h}{{{c}^{3}}}\left( 3{{\nu }^{2}}{{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}}-\frac{h}{kT}{{\nu }^{3}}{{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}} \right) \\

& \Rightarrow 3{{\nu }^{2}}{{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}}=\frac{h}{kT}{{\nu }^{3}}{{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}} \\

& \Rightarrow \frac{3kT}{h}={{\nu }_{\max .}} \\

\end{align}</math>

'''Wiensches Verschiebungsgesetz'''

Hier sieht man den Verlauf für T=100, 200, 300, 400 K: