Quelltext der Seite Lösungen der Dirac-Gleichung (freies Teilchen)

<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=7|Prof=Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>

Wir starten von

: <math>\left( \mathfrak{i} {{\gamma }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}-m \right)\Psi =0\Leftrightarrow \left[ \mathfrak{i} \left( {{\gamma }^{0}}{{\partial }_{t}}+{{\gamma }^{1}}{{\partial }_{{{x}^{1}}}}+{{\gamma }^{2}}{{\partial }_{{{x}^{2}}}}+{{\gamma }^{3}}{{\partial }_{{{x}^{3}}}} \right)-m \right]\Psi =0</math>

a) {{FB|Separationsansatz}} <math>\Psi \left( \underline{x},t \right)={{e}^{-\mathfrak{i} Et}}\phi \left( {\underline{x}} \right)</math>
{{NumBlk|:|	

<math>\left[ \Epsilon {{\gamma }^{0}}+\mathfrak{i} \left( {{\gamma }^{1}}{{\partial }_{1}}+{{\gamma }^{2}}{{\partial }_{2}}+{{\gamma }^{3}}{{\partial }_{3}} \right)-m \right]\phi \left( {\underline{x}} \right)=0</math> |(1.66)|RawN=.}}

Ansatz <math>\phi \left( {\underline{x}} \right)=\phi =const\Rightarrow \left( E{{\gamma }^{0}}-m \right)\phi =0</math> (Eigenwertgleichung)

:<math>{{\gamma }^{0}}\phi =\frac{m}{E}\phi \Leftrightarrow \left( \begin{matrix}

1 & {} & {} & {}  \\

{} & 1 & {} & {}  \\

{} & {} & -1 & {}  \\

{} & {} & {} & -1  \\

\end{matrix} \right)\phi =\frac{m}{E}\phi \,</math>

:	(hat 2 Eigenwerte)

{{NumBlk|:|	

<math>\frac{m}{E}=+1\Leftrightarrow {{\phi }_{+}}=\left( \begin{align}

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

& 0 \\

& 0 \\

\end{align} \right)\quad und\quad \frac{m}{E}=-1\Leftrightarrow {{\phi }_{-}}=\left( \begin{align}

& 0 \\

& 0 \\

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

\end{align} \right)</math>

:	|(1.67)|RawN=.}}

<u>Diskussion:</u>

* <math>{{\Psi }_{+}}={{e}^{-\mathfrak{i} Et}}\left( \begin{align}
   & {{u}_{1}} \\
  & {{u}_{2}} \\
  & 0 \\
  & 0 \\
 \end{align} \right),\quad E=+m{{c}^{2}}</math>, zwei linear unabhängige Lösungen  beschreibt ruhendes Teilchen der Masse m, Ruheenergie <math>E=m{{c}^{2}}>0</math>
* <u>Zwei</u> Komponenten u<sub>1</sub>, u<sub>2</sub> beschreiben Spin - ½, z.B.
{{NumBlk|:|	

<math>\left( \begin{align}

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

\end{align} \right)=\left( \begin{align}

& 1 \\

& 0 \\

\end{align} \right)=\left| \uparrow  \right\rangle \quad \left( \begin{align}

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

\end{align} \right)=\left( \begin{align}

& 0 \\

& 1 \\

\end{align} \right)=\left| \downarrow  \right\rangle </math>

:	|(1.68)|RawN=.}} &rarr; Dirac-Gleichung beschreibt Spin- ½ Teilchen.

* {{NumBlk|:|	<math>{{\Psi }_{-}}={{e}^{-\mathfrak{i} Et}}\left( \begin{align}
   & 0 \\
  & 0 \\
  & {{u}_{1}} \\
  & {{u}_{2}} \\
 \end{align} \right),\quad E=-m{{c}^{2}}</math>zwei linear unabhängige Lösungen	|(1.69)|RawN=.}} hat aber negative Energie! Interpretationsproblem wie Klein-Gordon-Gleichung. Zufriedenstellend gelöst erst in der Quantenfeldtheorie (Teilchenerzeugung und Vernichtung).

„Anschauliche Interpretation“

* Annahme vieler gleichartiger Spin- ½ -Teilchen der Masse m
* Annahme: Es gibt einen Vielteilchen-Grundzustand („{{FB|Vakuumzustand}}“), in dem alle Einzelteilchenzustände <math>{{\Psi }_{-}}</math>besetzt sind.
* Ein einziges Elektron ist dann z.B. das Vakuum +1 Teilchen in einem Zustand <math>{{\Psi }_{+}}</math>.
* „{{FB|Teilchen-Loch}}“ Anregung: Anregung von <math>{{\Psi }_{+}}</math> nach <math>{{\Psi }_{-}}</math> lässt „Loch“ im „{{FB|Fermi-See}}“ zurück: dies hat positive Ladung (fehlende negative Ladung)
* nützliches Konzept für die Halbleiterphysik

Vorteile der Löcher-Theorie:

* Vorrausage des {{FB|Positron}} (Antiteilchen zum Elektron, gleiche Masse, entgegengesetzte Ladung)
* Paarvernichtung / Erzeugung

Nachteile der Löcher-Theorie:

* Unendlicher See nicht beobachteter Elektronen
* Beruht auf „Paul-Prinzip“ und funktionier bei der Klein-Gordon-Gleichung, die Bosonen mit Spin 0 beschreibt nicht.
&rarr; konsistente Lösung dieses Problems in der zweiten Quantisierung (letzer Teil VL): <math>\Psi </math> als Feld, das quantisiert wird.

b) Laufenden ebene Wellen („laufende, nicht ruhende Teilchen“)
Ansatz<math>{{\Psi }_{\pm }}={{e}^{\mp \left( Et-\underline{k}.\underline{x} \right)}}{{\phi }_{\pm }}\left( E,\underline{k} \right),\quad E=+\sqrt{{{k}^{2}}+{{m}^{2}}}>0</math> mit <math>{{k}_{\mu }}{{x}^{\mu }}:=Et-\underline{k}.\underline{x}\Rightarrow {{k}_{\mu }}=\left( E,-{{k}_{x}},-{{k}_{y}},-{{k}_{z}} \right)</math>

{{NumBlk|:|	

<math>\begin{align}

& \left( {{\gamma }^{0}}E-{{\gamma }^{1}}{{k}_{x}}-{{\gamma }^{2}}{{k}_{y}}-{{\gamma }^{3}}{{k}_{z}}-m \right){{\phi }_{+}}=0\Leftrightarrow \left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right){{\phi }_{+}}=0 \\

& \left( -{{\gamma }^{0}}E+{{\gamma }^{1}}{{k}_{x}}+{{\gamma }^{2}}{{k}_{y}}+{{\gamma }^{3}}{{k}_{z}}-m \right){{\phi }_{-}}=0\Leftrightarrow \left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}+m \right){{\phi }_{-}}=0 \\

\end{align}</math>

:	|(1.70)|RawN=.}}

(1.70) sind Gleichundgen für Spinoren (4-Komponentige Vektoren)<math>{{\phi }_{\pm }}</math>.

Lösung wie Matrixgleichung <math>\underline{\underline{M}}\underline{x}=0</math>möglich, einfacher Trick:

:<math>\begin{align}

& \left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right)\left( {{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}+m \right)={{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}{{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}-{{m}^{2}}={{E}^{2}}-{{k}^{2}}-{{m}^{2}}=0,\quad  \\

& mit\,{{\left( {{\gamma }^{\mu }} \right)}^{2}}=\pm 1,{{E}^{2}}={{k}^{2}}+{{m}^{2}},\hbar =c=1 \\

\end{align}</math>

----

{{NumBlk|:|
<math>\left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right)\underbrace{\left( {{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}+m \right)\left( \begin{align}

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

& 0 \\

& 0 \\

\end{align} \right)}_{{{{\tilde{\phi }}}_{+}}}=0</math>

<math>\begin{align}

& {{{\tilde{\phi }}}_{+}}=\left( E+m \right)\left( \begin{align}

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

& 0 \\

& 0 \\

\end{align} \right)-{{k}_{x}}\left( \begin{matrix}

0 & {{\sigma }_{x}}  \\

-{{\sigma }_{x}} & 0  \\

\end{matrix} \right)\left( \begin{align}

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

& 0 \\

& 0 \\

\end{align} \right)-{{k}_{y}}... \\

& =\left( \begin{align}

& \left( E+m \right)\left( \begin{align}

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

\end{align} \right) \\

& \underline{k}.\underline{\sigma }\left( \begin{align}

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

\end{align} \right) \\

\end{align} \right)

\end{align}</math>

	
	|(1.71)|RawN=.|Border=1|extra=
<math>\left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right)\underbrace{\left( {{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}+m \right)\left( \begin{align}

& 0 \\

& 0 \\

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

\end{align} \right)}_{{{{\tilde{\phi }}}_{-}}}=0</math>

<math>\begin{align}

& -{{{\tilde{\phi }}}_{-}}=-\left( E+m \right)\left( \begin{align}

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

& 0 \\

& 0 \\

\end{align} \right)-{{k}_{x}}\left( \begin{matrix}

0 & {{\sigma }_{x}}  \\

-{{\sigma }_{x}} & 0  \\

\end{matrix} \right)\left( \begin{align}

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

& 0 \\

& 0 \\

\end{align} \right)-{{k}_{y}}... \\

& =-\left( \begin{align}

& \underline{k}.\underline{\sigma }\left( \begin{align}

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

\end{align} \right) \\

& \left( E+m \right)\left( \begin{align}

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

\end{align} \right) \\

\end{align} \right)

\end{align}</math>}}
Insgesamt existieren also 4 linear unabhängige Lösungen mit der Basis

{{NumBlk|:|	

<math>\begin{align}

& {{\phi }_{+}}^{\left( 1 \right)}=N\left( \begin{align}

& \left( E+m \right){{{\underline{u}}}^{\left( 1 \right)}} \\

& \left( \underline{k}.\underline{\sigma } \right){{{\underline{u}}}^{\left( 1 \right)}} \\

\end{align} \right)\quad {{\phi }_{+}}^{\left( 2 \right)}=N\left( \begin{align}

& \left( E+m \right){{{\underline{u}}}^{\left( 2 \right)}} \\

& \left( \underline{k}.\underline{\sigma } \right){{{\underline{u}}}^{\left( 2 \right)}} \\

\end{align} \right) \\

& {{\phi }_{-}}^{\left( 1 \right)}=N\left( \begin{align}

& \left( \underline{k}.\underline{\sigma } \right){{{\underline{u}}}^{\left( 1 \right)}} \\

& \left( E+m \right){{{\underline{u}}}^{\left( 1 \right)}} \\

\end{align} \right)\quad {{\phi }_{-}}^{\left( 2 \right)}=N\left( \begin{align}

& \left( \underline{k}.\underline{\sigma } \right){{{\underline{u}}}^{\left( 2 \right)}} \\

& \left( E+m \right){{{\underline{u}}}^{\left( 2 \right)}} \\

\end{align} \right) \\

\end{align}</math>

:	|(1.72)|RawN=.}}

AUFGABE: Bestimme Normierungsfaktor N so, dass <math>{{\left| {{\phi }_{\pm }}^{\left( i \right)} \right|}^{2}}=1</math>
Zeige <math>{{\phi }_{\pm }}^{\left( 1 \right)}\bot {{\phi }_{\pm }}^{\left( 2 \right)}</math> aber<math>\phi {{+}^{\left( 1 \right)}}\text{ NOT }\bot {{\phi }_{-}}^{\left( 1 \right)}</math> Hierbei gilt
<math>{{\underline{u}}^{\left( 1 \right)}}\bot {{\underline{u}}^{\left( 2 \right)}},\left| {{{\underline{u}}}^{\left( i \right)}} \right|=1</math>