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Symplektische Struktur des Phasenraums

2011-07-01T23:55:13Z

87.252.5.128: /* Gruppeneigenschaften */

<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|4|4}}</noinclude>

Da die kanonischen Transformationen generalisierte Koordinaten und Impulse ineinander transformieren können, sollten q und p nicht gegeneinander ausgezeichnet sein. Um diese Symmetrie des kanonischen Formalismus auszuzeichnen, wird eine neue Notation eingeführt.

Sei zunächst f= 1

:<math>\bar{x}:=\left( \begin{matrix}
q \\
p \\
\end{matrix} \right)</math>
ist Vektor im Phasenraum

:<math>{{H}_{,}}_{x}:=\left( \begin{matrix}
\frac{\partial H}{\partial q} \\
\frac{\partial H}{\partial p} \\
\end{matrix} \right)</math>
ist Ableitungsvektor

:<math>J:=\left( \begin{matrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{matrix} \right)</math>
ist Metrik im Phasenraum (metrischer Tensor)

In diesem Fall lassen sich die kanonischen Gleichungen vereinfacht schreiben als:

:<math>\dot{\bar{x}}:=J{{H}_{,x}}\Leftrightarrow -J\dot{\bar{x}}={{H}_{,x}}\Leftrightarrow \dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p},\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}</math>

Leicht läßt sich zeigen:

:<math>\begin{align}
& {{J}^{2}}=-1 \\
& {{J}^{-1}}={{J}^{T}}=-J \\
\end{align}</math>

====Verallgemeinerung auf mehr Freiheitsgrade====

:<math>\begin{align}
& \bar{x}:=\left( \begin{matrix}
{{q}_{1}} \\
... \\
{{q}_{f}} \\
{{p}_{1}} \\
... \\
{{p}_{f}} \\
\end{matrix} \right) \\
& {{{\bar{H}}}_{x}}:=\left( \begin{matrix}
\frac{\partial H}{\partial {{q}_{1}}} \\
... \\
\frac{\partial H}{\partial {{q}_{f}}} \\
\frac{\partial H}{\partial {{p}_{1}}} \\
... \\
\frac{\partial H}{\partial {{p}_{f}}} \\
\end{matrix} \right)\quad \quad J:=\left( \begin{matrix}
0 & {{1}_{f}} \\
-{{1}_{f}} & 0 \\
\end{matrix} \right) \\
\end{align}</math>

Die kanonischen Gleichungen lauten

:<math>\dot{\bar{x}}:=J{{H}_{x}}\Leftrightarrow -J\dot{\bar{x}}={{H}_{x}}</math>

Beispiel ist ein lineares autonomes System in einer Dimension, also der verallgemeinerte eindimensionale harmonische Oszillator:

:<math>\dot{\bar{x}}:=A\bar{x}=J{{H}_{x}}</math>

Diese Gleichung ist abzuleiten aus der Hamiltonfunktion:

:<math>H=\frac{1}{2}\left( a{{q}^{2}}+2bqp+c{{p}^{2}} \right)\quad z.\mathbf{B}.a={{\omega }_{0}}^{2},b=0,c=1</math>

:<math>\Rightarrow \dot{\bar{x}}:=\left( \begin{matrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
\frac{\partial H}{\partial q} \\
\frac{\partial H}{\partial p} \\
\end{matrix} \right)=\begin{matrix}
bq+cp \\
-aq-bp \\
\end{matrix}</math>

Somit ergibt sich eine Einschränkung an die Matrix A:

:<math>\begin{align}
& A=\left( \begin{matrix}
b & c \\
-a & -b \\
\end{matrix} \right) \\
& tr\left( A \right)=0 \\
\end{align}</math>

Dies gilt für Hamiltonsche Systeme! (Einschränkung an die Dynamik im Phasenraum)

====Kanonische Transformationen in kompakter Notation====

Aus den 4 Äquivalenten Formen der Erzeugenden für kanonische Transformationen folgt:

#
:<math>\begin{align}
& {{M}_{1}}(\bar{q},\bar{Q},t): \\
& \Rightarrow {{p}_{j}}=\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{j}}} \\
& {{P}_{j}}=-\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}} \\
& \Rightarrow \frac{\partial {{p}_{j}}}{\partial {{Q}_{k}}}=\frac{{{\partial }^{2}}{{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}\partial {{q}_{j}}}=-\frac{\partial {{P}_{k}}}{\partial {{q}_{j}}} \\
\end{align}</math>

#
:<math>\begin{align}
& {{M}_{2}}(\bar{q},\bar{P},t)={{M}_{1}}(\bar{q},\bar{Q},t)-\sum\limits_{j=1}^{f}{{}}\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}}{{Q}_{j}} \\
& \Rightarrow {{p}_{j}}=\frac{\partial {{M}_{2}}}{\partial {{q}_{j}}} \\
& {{Q}_{j}}=\frac{\partial {{M}_{2}}}{\partial {{P}_{j}}} \\
& \Rightarrow \frac{\partial {{p}_{j}}}{\partial {{P}_{k}}}=\frac{{{\partial }^{2}}{{M}_{2}}}{\partial {{P}_{k}}\partial {{q}_{j}}}=\frac{\partial {{Q}_{k}}}{\partial {{q}_{j}}} \\
\end{align}</math>

#
:<math>\begin{align}
& {{M}_{3}}(\bar{p},\bar{Q},t)={{M}_{1}}(\bar{q},\bar{Q},t)-\sum\limits_{j=1}^{f}{{}}\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{j}}}{{q}_{j}} \\
& \Rightarrow {{q}_{j}}=\frac{\partial {{M}_{3}}}{\partial {{p}_{j}}} \\
& {{P}_{j}}=-\frac{\partial {{M}_{3}}}{\partial {{Q}_{j}}} \\
& \Rightarrow \frac{\partial {{q}_{j}}}{\partial {{Q}_{k}}}=-\frac{{{\partial }^{2}}{{M}_{3}}}{\partial {{Q}_{k}}\partial {{p}_{j}}}=\frac{\partial {{P}_{k}}}{\partial {{p}_{j}}} \\
\end{align}</math>

#
:<math>\begin{align}
& {{M}_{4}}(\bar{p},\bar{P},t)={{M}_{1}}(\bar{q},\bar{Q},t)-\sum\limits_{j=1}^{f}{{}}\left( \frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}}{{Q}_{j}}+\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{j}}}{{q}_{j}} \right) \\
& \Rightarrow {{q}_{j}}=-\frac{\partial {{M}_{4}}}{\partial {{p}_{j}}} \\
& {{Q}_{j}}=\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{P}_{j}}}={{q}_{j}} \\
& \Rightarrow \frac{\partial {{q}_{j}}}{\partial {{P}_{k}}}=\frac{{{\partial }^{2}}{{M}_{1}}}{\partial {{P}_{k}}\partial {{p}_{j}}}=-\frac{\partial {{Q}_{k}}}{\partial {{p}_{j}}} \\
\end{align}</math>

Dabei sind:

:<math>\bar{x}:=\left( \begin{matrix}
{{q}_{1}} \\
... \\
{{q}_{f}} \\
{{p}_{1}} \\
... \\
{{p}_{f}} \\
\end{matrix} \right)\quad \quad \bar{y}:=\left( \begin{matrix}
{{Q}_{1}} \\
... \\
{{Q}_{f}} \\
{{P}_{1}} \\
... \\
{{P}_{f}} \\
\end{matrix} \right)</math>

:<math>\begin{align}
& {{M}_{\alpha \beta }}=\frac{\partial {{x}_{\alpha }}}{\partial {{y}_{\beta }}} \\
& {{\left( {{M}^{-1}} \right)}_{\alpha \beta }}:=\frac{\partial {{y}_{\alpha }}}{\partial {{x}_{\beta }}}\quad \quad \alpha ,\beta =1,...,2f \\
\end{align}</math>

====Beweis:====

:<math>\sum\limits_{\gamma =1}^{2f}{{}}{{M}_{\alpha \gamma }}{{\left( {{M}^{-1}} \right)}_{\gamma \beta }}=\sum\limits_{\gamma =1}^{2f}{{}}\frac{\partial {{x}_{\alpha }}}{\partial {{y}_{\gamma }}}\frac{\partial {{y}_{\gamma }}}{\partial {{x}_{\beta }}}=\frac{\partial {{x}_{\alpha }}}{\partial {{x}_{\beta }}}={{\delta }_{\alpha \beta }}</math>

Damit läßt sich eine einheitliche Schreibweise finden für die Relationen aller Erzeugenden:

:<math>{{M}_{\alpha \beta }}=\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{2f}{{{J}_{\alpha \mu }}{{J}_{\beta \nu }}{{\left( {{M}^{-1}} \right)}_{\mu \nu }}}</math>

====Beweis:====
In Matrixform lautet diese Gleichung:

:<math>M=J{{\left( J{{M}^{-1}} \right)}^{T}}</math>

Die linke Seite (M) lautet:

:<math>M=\left( \begin{matrix}
\frac{\partial q}{\partial Q} & \frac{\partial q}{\partial P} \\
\frac{\partial p}{\partial Q} & \frac{\partial p}{\partial P} \\
\end{matrix} \right)</math>

Die rechte Seite lautet:

:<math>\begin{align}
& J{{\left( J{{M}^{-1}} \right)}^{T}}=\left( \begin{matrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{matrix} \right){{\left[ \left( \begin{matrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
\frac{\partial Q}{\partial q} & \frac{\partial Q}{\partial p} \\
\frac{\partial P}{\partial q} & \frac{\partial P}{\partial p} \\
\end{matrix} \right) \right]}^{T}}=\left( \begin{matrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{matrix} \right){{\left( \begin{matrix}
\frac{\partial P}{\partial q} & \frac{\partial P}{\partial p} \\
-\frac{\partial Q}{\partial q} & -\frac{\partial Q}{\partial p} \\
\end{matrix} \right)}^{T}} \\
& =\left( \begin{matrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{matrix} \right){{\left( \begin{matrix}
{{\left( \frac{\partial P}{\partial q} \right)}^{T}} & -{{\left( \frac{\partial Q}{\partial q} \right)}^{T}} \\
{{\left( \frac{\partial P}{\partial p} \right)}^{T}} & -{{\left( \frac{\partial Q}{\partial p} \right)}^{T}} \\
\end{matrix} \right)}^{{}}}=\left( \begin{matrix}
{{\left( \frac{\partial P}{\partial p} \right)}^{T}} & -{{\left( \frac{\partial Q}{\partial p} \right)}^{T}} \\
-{{\left( \frac{\partial P}{\partial q} \right)}^{T}} & {{\left( \frac{\partial Q}{\partial q} \right)}^{T}} \\
\end{matrix} \right) \\
\end{align}</math>

Die Matrixform für die Erzeugenden läßt sich folgendermaßen äquivalent umformen:

:<math>\begin{align}
& M=J{{\left( J{{M}^{-1}} \right)}^{T}} \\
& \Rightarrow JM=-{{\left( J{{M}^{-1}} \right)}^{T}}=-{{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}{{J}^{T}} \\
& \Rightarrow {{M}^{T}}JM=-{{M}^{T}}{{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}{{J}^{T}}=-{{\left( {{M}^{-1}}M \right)}^{T}}{{J}^{T}}=-{{J}^{T}}=J \\
& {{M}^{T}}JM=J \\
\end{align}</math>

Dabei ist J der metrische Tensor und M die Matrix der 2. Ableitungen der Erzeugenden der kanonischen Transformation, also die Jacobi- Matrix für die Erzeugenden der kanonischen Trafo.

Dies bedeutet jedoch nichts anderes als: Die Metrik im Phasenraum ist invariant unter kanonischen Transformationen!

J definiert dabei eine Metrik über das verallgemeinerte schiefsymmetrische Skalarprodukt:

:<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right):={{\bar{x}}^{T}}J\bar{y}=\sum\limits_{i,k=1}^{2f}{{{x}_{i}}{{J}_{ik}}{{y}_{k}}}</math>

es handelt sich dabei um eine schiefsymmetrische, nichtentartete Bilinearform

Eigenschaften:

# Schiefsymmetrie:
:<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right)=-\left( \bar{y},\bar{x} \right)</math>,
Beweis:
:<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right)={{\bar{x}}^{T}}J\bar{y}={{\left( {{{\bar{y}}}^{T}}{{J}^{T}}\bar{x} \right)}^{T}}=-{{\bar{y}}^{T}}{{J}^{{}}}\bar{x}=-\left( \bar{y},\bar{x} \right)</math>

# bilinear:
:<math>\left( \bar{x},{{\lambda }_{1}}{{{\bar{y}}}_{1}}+{{\lambda }_{2}}{{{\bar{y}}}_{2}} \right)={{\lambda }_{1}}\left( \bar{x},{{{\bar{y}}}_{1}} \right)+{{\lambda }_{2}}\left( \bar{x},{{{\bar{y}}}_{2}} \right)</math>

# nichtentartet:
:<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right)=0\forall \bar{y}\Rightarrow \bar{x}=0</math>

Nebenbemerkung: Es gilt:
:<math>\left( \bar{x},\bar{x} \right)=0\forall \bar{x}</math>
Also Selbstorthogonalität

Beweis:
:<math>{{\bar{x}}^{T}}J\bar{x}=\left( \begin{matrix}
q & p \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
q \\
p \\
\end{matrix} \right)=qp-pq=0</math>

Die Symplektische Struktur auf dem
:<math>{{R}^{2f}}</math>
ist von einer euklidischen Metrik grundsätzlich zu unterscheiden:

:<math>{{\left( \bar{x},\bar{y} \right)}_{Eu}}=\sum\limits_{i}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}=}{{\bar{x}}^{T}}g\bar{y}</math>

Mit dem metrischen Tensor g, einer 2fx2f dimensionalen Einheitsmatrix!

Im Euklidischen gelten jedoch die Relationen:

:<math>\begin{align}
& \left( \bar{x},\bar{y} \right)=\left( \bar{y},\bar{x} \right) \\
& \left( \bar{x},\bar{x} \right)\ge 0 \\
\end{align}</math>

====Definition:====
Die Menge der Matrizen M (kanonische Trafo) mit

:<math>{{M}^{T}}JM=J</math>
bildet die reelle symplektische Gruppe S über
:<math>{{R}^{2f}}</math>.

Dies ist die Symmetriegruppe der symplektischen Struktur.

Furrealz? That's marvelosluy good to know.

Das Zweikörperproblem

2011-07-01T15:48:18Z

87.252.5.128: /* Planetenbewegung und Keplersche Gesetze */

<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|3|5}}</noinclude>
Hier werden die Erhaltungssätze zur Lösung der Bewegungsgleichung verwendet.

Idee:

f Freiheitsgrade → f Differenzialgleichungen 2. Ordnung

* 2f Integrationskonstanten nötig! (jeweils zweifaches Integrieren). (Anfangsbedingungen).
* Also existieren auch 2f Integrale der Bewegung

Falls alle 2f Integrale der Bewegung bekannt wären:

:<math>{{I}_{r}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{\dot{q}}_{1}},...{{\dot{q}}_{f}})={{c}_{r}}\quad \quad r=1,...2f</math>

So wäre das Problem vollständig gelöst:

:<math>{{q}_{k}}={{q}_{k}}({{c}_{1}},...,{{c}_{2f}},t)\quad \quad k=1,...,f</math>

Also ist es das Ziel, möglichst viele Integrale der Bewegung zu finden.

Beispiel: Zweikörperproblem

2 Massen, m1 und m2 unter dem Einfluss Ihrer inneren Wechselwirkung: V(|r1-r2|) (Zentralpotenzial).

Beispiel: Sonne / Erde unter Gravitationswechselwirkung

Zahl der Freiheitsgrade: f=6

Also: es muessten 12 Integrale der Bewegung existieren

<u>'''Erhaltungssätze'''</u>

# V(|r1-r2|) ist translationsinvariant.
Somit ist der Impuls:
:<math>\bar{P}={{\bar{p}}_{1}}+{{\bar{p}}_{2}}</math>
=konstant

Der Schwerpunkt:
:<math>\bar{R}=\frac{1}{M}\bar{P}t+{{\bar{R}}_{0}}</math>
bewegt sich gleichförmig und geradlinig.

Dies folgt aus:
:<math>M\dot{\bar{R}}=\bar{P}=const</math>

M:=m1 + m2

Somit sind 6 Integrationskonstanten gefunden:
:<math>\bar{P},\bar{R}</math>

# V(|r1-r2|) ist rotationsinvariant:
Damit ist der Drehimpuls
:<math>\bar{l}={{m}_{1}}{{\bar{r}}_{1}}\times {{\bar{v}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\bar{r}}_{2}}\times {{\bar{v}}_{2}}=const</math>

Es sind drei weitere Integrationskonstanten
:<math>\bar{l}</math>
gefunden.

# Die zeitliche Translationsinvarianz bei konservativer Kraft:

:<math>E=\frac{1}{2}{{m}_{1}}{{\bar{v}}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}{{m}_{2}}{{\bar{v}}_{2}}^{2}+V\left( \left| {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right| \right)=const</math>

Eine Integrationskonstante E

Insgesamt sind 10 Integrale der Bewegung gefunden. Es bleiben nur 2 Integrationskonstanten, nämlich der Nullpunkt der Zeit- und Winkelskala. Diese ergeben sich aus den ANfangsbedingungen.

====Impuls- und Drehimpulserhaltung====

Lagrange- Formulierung:

:<math>L=T-V=\frac{1}{2}{{m}_{1}}{{\bar{v}}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}{{m}_{2}}{{\bar{v}}_{2}}^{2}-V\left( \left| {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right| \right)</math>

Verallgeminerte Koordinaten: Schwerpunktskoordinaten:

:<math>\left( \begin{matrix}
{{q}_{1}} \\
{{q}_{2}} \\
{{q}_{3}} \\
\end{matrix} \right):=\bar{R}=\frac{1}{M}({{m}_{1}}{{\bar{r}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\bar{r}}_{2}})</math> Schwerpunktskoordinate <math>\left( \begin{matrix}
{{q}_{4}} \\
{{q}_{5}} \\
{{q}_{6}} \\
\end{matrix} \right):=\bar{r}={{\bar{r}}_{1}}-{{\bar{r}}_{2}}</math>
Relativkoordinate

Die Umkehrung liefert dann die gesuchten Größen:

:<math>\begin{align}
& {{{\bar{r}}}_{1}}=\bar{R}+\frac{{{m}_{2}}}{M}{{{\bar{r}}}_{{}}}\quad \quad {{{\bar{r}}}_{2}}=\bar{R}-\frac{{{m}_{1}}}{M}\bar{r} \\
& {{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}=\dot{\bar{R}}+\frac{{{m}_{2}}}{M}{{{\dot{\bar{r}}}}_{{}}}\quad \quad {{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}=\dot{\bar{R}}-\frac{{{m}_{1}}}{M}{{{\dot{\bar{r}}}}_{{}}} \\
& L=\frac{M}{2}{{{\dot{\bar{R}}}}^{2}}+\frac{1}{2}m{{{\dot{\bar{r}}}}^{2}}-V(r) \\
\end{align}</math>

Dabei bezeichnet

:<math>r:=\left| {\bar{r}} \right|</math>
den Abstand und

:<math>m=\frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}</math>
die relative Masse

:<math>L=\frac{M}{2}{{\dot{\bar{R}}}^{2}}+\frac{1}{2}m{{\dot{\bar{r}}}^{2}}-V(r)</math>

:<math>\bar{R}</math>
ist zyklische Koordinate:
:<math>\frac{\partial L}{\partial {{R}_{k}}}=0\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{R}}}_{k}}}=M{{\dot{R}}_{k}}={{P}_{k}}=const</math>
mit k= x,y,z

:<math>\Rightarrow \bar{R}=\frac{1}{M}\bar{P}t+{{\bar{R}}_{0}}</math>

Verwende das Schwerpunktsystem als Inertialsystem:

o.B.d.A:
:<math>\bar{R}=\dot{\bar{R}}=0</math>

Damit ergibt sich die vereinfachte Lagrangegleichung

:<math>L=\frac{1}{2}m{{\dot{\bar{r}}}^{2}}-V(r)</math>

mit:

:<math>\begin{align}
& {{{\bar{r}}}_{1}}=+\frac{{{m}_{2}}}{M}{{{\bar{r}}}_{{}}}\quad \quad {{{\bar{r}}}_{2}}=-\frac{{{m}_{1}}}{M}\bar{r} \\
& {{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}=+\frac{{{m}_{2}}}{M}{{{\dot{\bar{r}}}}_{{}}}\quad \quad {{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}=-\frac{{{m}_{1}}}{M}{{{\dot{\bar{r}}}}_{{}}} \\
\end{align}</math>

Der Drehimpuls berechnet sich gemäß:

:<math>\bar{l}={{m}_{1}}{{\bar{r}}_{1}}\times {{\bar{v}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\bar{r}}_{2}}\times {{\bar{v}}_{2}}=\left( \frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}^{2}}{{{M}^{2}}}+\frac{{{m}_{2}}{{m}_{1}}^{2}}{{{M}^{2}}} \right)\bar{r}\times \dot{\bar{r}}=m\bar{r}\times \dot{\bar{r}}=const</math>
(Rotationsinvarianz)

Somit folgt aber auch (zyklische Vertauschbarkeit):

:<math>\bar{l}\cdot \bar{r}=\bar{l}\cdot \dot{\bar{r}}=0</math>

Beide, Radiusvektor und Geschwindigkeitsvektor
:<math>\bar{r},\dot{\bar{r}}</math>
liegen in der Ebene senkrecht zu
:<math>\bar{l}</math>
(Im Schwerpunktsystem).

Übergang zu Polarkoordinaten. Wir legen das Koordinatensystem so, dass der Drehimpuls parallel zur z- Achse zeigt:

:<math>\begin{align}
& x=r\cos \phi \quad \dot{x}=\dot{r}\cos \phi -r\dot{\phi }\sin \phi \\
& y=r\sin \phi \quad \dot{y}=\dot{r}\sin \phi +r\dot{\phi }\cos \phi \\
\end{align}</math>

Somit:

:<math>{{\dot{\bar{r}}}^{2}}={{\dot{x}}^{2}}+{{\dot{y}}^{2}}=...={{\dot{r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot{\phi }}^{2}}</math>

Nun wählen wir neue verallgemeinerte Koordinaten statt x,y :
:<math>\left( r,\phi \right)</math>

:<math>L=\frac{1}{2}m\left( {{{\dot{r}}}^{2}}+{{r}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}} \right)-V(r)</math>

:<math>\phi </math>
ist zyklische Koordinate:
:<math>\frac{\partial L}{\partial \phi }=0\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi }}=m{{r}^{2}}\dot{\phi }=l=const</math>

Hier: l = lz, da lx = ly =0

Also:
:<math>m{{r}^{2}}\dot{\phi }={{l}_{z}}=m(x\dot{y}-y\dot{x})=const</math>

=====Flächensatz: 2. keplersches Gesetz=====

Geometrische Interpretation von
:<math>m{{r}^{2}}\dot{\phi }={{l}_{z}}=m(x\dot{y}-y\dot{x})=const</math>
:

Radiusvektor überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

Das heißt: Die Flächengeschwindigkei ist konstant:

Für die Fläche gilt:

:<math>\delta F=\frac{1}{2}\left| {\bar{r}} \right|\cdot \left| \bar{r}+\delta \bar{r} \right|\sin \delta \phi \approx \frac{1}{2}{{r}^{2}}\delta \phi </math>

Dabei gilt die rechtsseitige Näherung für sehr kleine Änderungen in Radiusvektor und Winkel. Bleibt richtig für infinitesimale Betrachtung:

:<math>\frac{d}{dt}F=\frac{1}{2}{{r}^{2}}\frac{d\phi }{dt}=\frac{l}{2m}=const</math>

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