Kerndrehimpulse und elektromagnetische Kernmomente

2011-06-16T19:41:14Z

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<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=5|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>

Der {{FB|Kerndrehimpuls}} I setzt sich aus den {{FB|Bahndrehimpuls}}en <math>l_i</math> und
{{FB|Spin}}s <math>s_i</math> der elnzelnen Nukleonen zusammen.
: <math>I = \sum l_i + s_i</math>.

Bahndrehimpulse
<math>l_i</math> als Erhaltungsgrößen setzen ein Zentralpotential <math>V = V(r)</math> voraus, in dem sich die Nukleonen praktisch frei und ohne
Stöße im Kerninneren bewegen. Diese Einteilchenvorstellung, welche die Basis des Schalenmodells (Kap. 7) ist, hat ihre Begründung darin,
daß die Nukleonen als {{FB|Fermionen im Grundzustand}} alle nach dem {{FB|Pauli-Prinzip}} erlaubten Zustände besetzen, so daß es keine "Stöße"
gibt und die Nukleonen quasi als freie Teilchen auftreten.

== Bahndrehimpuls <math>l = r \times p</math> ==
[[Datei:Drehimpuls-z16.png|miniatur|'Vektor'-Modell]]
Operatorenzuordnung <math>p \to \frac{\hbar}{i} \nabla</math>, Separation der Wellenfunktionen <math>\psi_{nlm}(r)=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta,\phi)</math>
in Radial- und Winkelteil. Die sphärischen Kugelfunktionen <math>Y_{lm}(\theta,\phi)</math> sind die Eigenfunktionen von <math>l^2</math> und <math>l_z</math> mit den Eigenwerten <math>1(1+1)\hbar^2</math> und <math>m\hbar</math>.

1 = 0, 1, 2, 3, 4, ...
s, p, d, f, g spektr. Bezeichnung

<math>l^2 Y_{lm}(\theta,\phi) = (1+1)\hbar^2 Y_{lm}(\theta,\phi)</math>

m = -l, ... 0, ... +l
<math>\to 2l+1</math> Einstellmöglichkeiten

<math>l_z Y_{lm}(\theta,\phi) = m\hbar Y_{lm}(\theta,\phi)</math>

==Spin==
[[Datei:Spin-17.png|miniatur|Spin-Darstellung]]
Spin <math>s ,s =\dfrac{1}{2}</math>

Ergebnis der relat. Quantenmechanik ({{FB|Diractheorie}}). Halbzahlige Spin-Teilchen (z.B. n, p, e, ... ) sind Fermionen, deren Wellenfunktionen bei Teilchentausch sich anti symmetrisch verhalten ({{FB|Pauli-Prinzip}}).
Im Gegensatz dazu sind ganzteilige Spin-Teilchen (einschließlich s = 0) Bosonen,
(z.B. d, <math>\alpha</math>, Photonen, Pionen) mit bei Teilchentausch symmetrischen
Wellenfunktionen. Unterschiedliche Statistik.

==Gesamtdrehimpuls==
[[Datei:Gesamtdrehimpuls18.png|miniatur|Gesamtdrehimpuls <math>j = l \pm \dfrac{1}{2}</math> "parallel" oder"antiparallel"]]

{{FB|Gesamtdrehimpuls}} <math>\vec j = \vec l + \vec s</math> eines einzelnen Nukleons
<math>j = l \pm \dfrac{1}{2}</math> ~ "parallel" oder"antiparallel"

Bei mehreren Nukleonen gibt es verschiedene Kopplungsmöglichkeiten,
wie beispielsweise in der Atomphysik die {{FB|LS-Kopplung}} mit
<math> \vec L = \sum \vec l_i, \quad \vec S= \sum \vec s_i, \quad \vec L+ \vec S= \vec I</math> oder die {{FB|jj-Kopplung}} mit
<math> \vec l_i+ \vec s_i= \vec j_i, \quad \sum \vec j = \vec I</math>.

Experimentelle Ergebnisse für die Kerndrehimpulse I:

(g, g) I = 0 (im Grundzustand)
(u, g) , (g, u) I = 1/2, 3/2, 5/2, ...
(u, u) = 0, 1, 2, 3, ...

Neigung der Protonen und Neutronen, sich jeweils paarweise durch "Antiparallelstellung" der Einzeldrehimpulse mit <math>\vec j_{p_i}+ \vec j_{p_k} = 0</math> bzw. <math> \vec j_{n_i}+ \vec j_{n_k} = 0</math> zu kompensieren.

Folgerung für (u, g)- und (g, u)-Kerne
<math> \vec I(u, g) = \vec I(g,g-\textrm{Rumpf}) + \vec j_P \to \vec I(u, g) = \vec j_p</math>

d. h. 1(u, g) = Einzeldrehimpuls <math> \vec j_p</math> des letzten ungepaarten Protons
Entsprechend <math>1(g, u) = j_n</math> Einzeldrehimpuls des letzten ungepaarten
Neutrons.

== Magnetisches Kerndipolmoment µ<sub>I</sub> ==

Mit dem Bahndrehimpuls und Spin der Nukleonen sind magnetische Dipolmomente verbunden.
=== Bahn ===
[[Datei:BahnDrehmoment19.png]]
a) Bahn~
~ magn. Dipolmoment = c^{-1} Strome Fläche
<math>\mu_l=\frac{e\hbar}{2mc}l=\frac{1}{c}\frac{e v}{2 \pi r} \pi r^2</math> with <math>\hbar l = mrv</math>
;Bohrsches Magneton: <math>m=m_0</math> Elektron <math>\frac{e \hbar}{2m_0 c}=\mu_b=0.927\times 10^{-23} J/T</math>
;Kernmagneton:<math>m = m_p</math> Proton <math>\frac{e\hbar}{2m_e c} = \mu_K = 0.505\times10^{-26} J/T</math>
=== Spin===

b) Spin
Für <math>s = \tfrac{1}{2}</math>-Teilchen erwartet man in Analogie zum Bahnbeitrag
:<math>\mu_s=\frac{e\hbar}{2 m c} s , s=\dfrac{1}{2}</math> Falsch!

Experimentell gilt allgemein
:<math>\mu_s=g \frac{e\hbar}{2 m c} s</math> g-Faktor

Dabei ist für das Elektron <math>g = -2</math> nach der Diractheorie bis auf
kleinere quantenelektrodynamische Korrekturen bestätigt. Für Proton
und Neutron erwartet man deshalb <math>g_p = 2</math> und <math>g_n = 0</math> (wegen fehlender
Ladung). Die gemessenen Werte <math>g_p = 5,586</math> und <math>g_n = -3,826</math> jedoch, daß die Nukleonen keine einfachen "Punkt-Teilchen" zeigen
sind.

Die magnetischen Kerndipolmomente <math>\mu_I</math> für (g, u)- und (u,g)-Kerne lassen sich (zumindest für leichte Kerne) näherungsweise auf den des letzten ungepaarten Nukleons zurückführen (Schmidt-Modell).

==Elektrisches Kernquadrupolmoment Q==

Q gibt Abweichung von der Kugelgestalt wieder

Potential \phi für p im Außenraum <math>\Delta \phi = 0</math>
:<math>\phi(r,\theta) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \frac{1}{r^{n+1}} P_n(\cos \theta)</math>

{{FB|Legendre Polynome}} <math>P_0 = 1</math>
:<math>P_1 = cos \theta \quad P_n(\theta = 0) = 1 \quad P_2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cos^ 2 \theta</math>

[[Datei:KernQuadrupolmoment20.png|miniatur]]
Die Bedeutung der Entwicklungskoeffizienten <math>a_n</math> erkennt man durch direkte Berechnung des Potentials auf der z-Achse, also für <math>e = 0</math> und Koeffizientenvergleich:
:<math>\phi(r,\theta=0) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \frac{1}{r^{n+1}} 1</math>
oder direkt berechnet
:<math>\phi(r,\theta=0)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int\frac{\rho(r')d\tau}{|r-r'|}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int\frac{\rho(r')r'^{n}}{r^{n+1}}\frac{1}{r^{n+1}}P_{n}\cos(\alpha)d\tau</math> mit <math>\frac{1}{|r-r'|}=\sum\limits _{n=0}^{\infty}a_{n}\frac{1}{r^{n+1}}P_{n}\cos(\alpha)</math>.

:<math>a_n=\int {\rho(r')r'^{n}}P_{n}\cos(\alpha) d \tau</math>

;n=0:<math>a_0=\int \rho(r') d \tau= Z e</math> Punktladung
;n=1:<math>a_1=\int \rho(r')r'\cos(\alpha) d \tau =0 </math> elektrisches Dipolmoment in <math>z= r'\cos(\alpha)</math>-Richtung (=0 da Kernkräfte die Parität erhalten)
;n=2:<math>a_{2}=\int\rho(r')r'^{2}\left(-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\cos^{2}\alpha\right)=\frac{1}{2}\int\rho(r')(3z^{2}-r'^{2})d\tau\equiv\frac{1}{2}eQ</math>

Bei konstanter Ladungsverteilung <math>\rho = \frac{Ze}{V}</math> ist deshalb <math>Q=\frac{Z}{V}\int(3z^2-r'^{2})d \tau</math>.
Größenordnung: <math>Q \approx \pi R^2 \approx 10^{-28} m^2</math> (lb)
Vorzeichen:
[[Datei:KernQuadrupolmoment-Geometry21.png]]

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Kerndrehimpulse und elektromagnetische Kernmomente