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Weihnachtsübung zur Allgemeinen Relativitätstheorie II

2009-04-11T08:16:36Z

85.179.11.30: /* Komplex 1: Grundlagen der ART */

Die folgende Auflistung umfasst einen Fragenkatalog zur Allgemeinen Relativitätstheorie, dieser kann zwangsläufig nicht vollständig sein! Ich hoffe jedoch, dass er Denjenigen, die planen die Prüfung abzulegen, eine gewisse Orientierung über die Dinge gibt, die man wissen könnte.
[...]
== Komplex 1: [[Grundlagen der ART|Grundlagen]] ==
*Wie verhalten sich [[Spezielle Relativitätstheorie]] und [[Newtonsche Gravitationstheorie]] zueinander?
*Was besagt das [[spezielles Relativitätsprinzip|spezielle Relativitätsprinzip]]?
*Was ist ein [[Lichtkegel]]? Welche verschiedenen [[Abstände]] gibt es?
*Wie sehen die [[Minkowski-Metrik]] und die [[Lorentz-Transformationen]] aus? Was sind [[Poincare-Transformation|Poincare-]] und [[Galilei-Transformation|Galilei-Transformationen]] und welche Symmetrien und Erhaltungssätze gehören dazu?
*Wie können Mechanik und Elektrodynamik in einer geeigneten Weise im Minkowskiraum dargestellt werden (auch [[Eigenzeit]] und [[4er-Impuls]])? Was für Größen treten da auf und was gibt‘s für Lösungen?
*Welche [[Energie-Impuls-Tensor|Energie-Impuls-Tensoren]] sind einem über den Weg gelaufen und was machen diese (ideale Flüssigkeit, elektromagnetisches Feld), [[Energie-Impuls-Bilanz]] und nicht relativistischer Limes?
*Welche Rolle spielen beschleunigte Bezugssysteme in der [[Spezielle Relativitätstheorie|Speziellen Relativitätstheorie]] und wie werden diese beschrieben?
*Welche verschiedenen [[Massebegriffe]] gibt es und was besagt das [[Äquivalenzprinzip]]?

== Komplex 2: Riemannsche Geometrie und Grundlagen der Gravitationstheorie ==
*Was ist ein [[Riemannscher Raum]]?
*Wie transformieren sich Tensoren im [[Riemannschen Raum]]?
*Wie sind [[Christoffelsymbole]] definiert und wie transformieren sich diese im Gegensatz zu [[Tensoren]] (wiederum [[Äquivalenzprinzip]])?
*Wie ist die [[kovariante Ableitung]] definiert?
*Wie sehen die [[Geodätengleichung]] und der [[Paralleltransport]] aus (auch [[Fermi-Walker-Transport]] und [[Lieableitung]])?
*Wie lauten die Definitionen des [[Krümmungstensors]] und wie lässt sich das veranschaulichen?
*Welche algebraischen und differenziellen Identitäten erfüllt der [[Krümmungstensor]]?
*Wie formuliert man (nicht gravitative) Grundgesetze kovariant?
*Wie vollzieht sich in etwa der Grenzübergang zur [[Newtonschen Gravitationstheorie]]?
*Welche Möglichkeiten sehen Sie zur Motivierung der [[Feldgleichungen]]?
*Wie lauten die [[Einsteinschen Feldgleichungen]], was sind die auftretenden Größen (Eindeutigkeit etc.)?
*Was ist die Bedeutung der Divergenzfreiheit des [[Energie-Impuls-Tensors]], woraus folgt diese und stellt sie Einschränkungen an den [[Riemannschen Raum]]?
*Gibt es allgemein Erhaltungsgrößen?
*Was sind [[Killingvektoren]] und was haben diese mit Erhaltungsgrößen zu tun?
*Wie kann man die [[Feldgleichungen]] aus einem [[Variationsprinzip]] ableiten?
*Welche Bedingungen müssen gefordert werden?
*Wie verhalten sich Variationsprinzip und Feldgleichungen bei Anwesenheit von Materie (metrischer [[Energie-Impuls-Tensor]] und [[Materiefeldgleichungen]])?
*Was besagt die [[Deviationsgleichung]] (insbesondere ist das auch für [[Gravitationswellen]] wichtig)?

== Komplex 3: Spezielle Lösungen und Effekte ==
*Wie gelangt man zu den linearisierten [[Feldgleichungen]], wie ist ihr Verhältnis zur vollständigen Theorie? (Dies muss man natürlich auch besonders bei den [[Gravitationswellen]] wissen.)
*Was beschreibt die [[Schwarzschildlösung]] und wie sieht sie aus?
*Wie wird diese Lösung motiviert und wie beschreibt man dann die [[klassischen Tests]]?
*Was sind Testkörper?
*Grundkenntnisse über die [[klassischen Tests]] der ART (theoretische Beschreibung und experimentelles Vorgehen)?

== Komplex 4: Gravitationswellen ==
*Was sind [[Gravitationswellen]] und welche Eigenschaften haben diese?
*Wie kommt man zu diesen Wellen überhaupt und was gibt es für allgemeine Lösungen?
*Was sind die [[Eichtransformationen]] und woher kommen diese?
*Was besagt der [[Energie-Impuls-Tensor]] einer [[Gravitationswelle]], woher kommt er, was beschreibt er?
*Warum Monopol-, Dipol-, [[Quadrupolstrahlung]] auftreten oder auch nicht?
*Wie misst man [[Gravitationswellen]]?

== Komplex 5: Kosmologie ==
*Was ist Ziel der [[Kosmologie]]?
*Welche Lösungen der [[Feldgleichungen]] benutzt man zur kosmologischen Beschreibung, welchen Eigenschaften haben diese und welche Probleme lösen Sie und welche erzeugen Sie?
*Unter welchen Annahmen sind diese Gleichungen vollständig, Intergrationsbedingungen, [[Friedmann-Gleichung]]?
*Einige [[kosmologische Modelle]]?
*Wie beobachtet man in etwa, was und warum?

== Komplex 6: [[Quantengravitation]] ==
*Was möchte die [[Quantengravitation]] überhaupt beschreiben?
*Wie geht die kanonische Formulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie von statten (welche zusätzlichen Annahmen muss man machen)?
*Worin liegen die besonderen Probleme der kanonischen Formulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie ([[Zwangsgleichungen]])?
*Welches sind die [[Feldvariablen]] und die anderen Größen?
*Was ist die [[Wheeler-DeWitt-Gleichung]]?
*Wie kann man Theorien mit Zwangsgleichungen quantisieren ([[Dirac-Quantisierung]])?

== Komplex 7: Alles was ich vergessen habe ==
© Prof. Dr. H.-H. v. Borzeszkowski, Dr. T. Chrobok, Dr. N. Bücking

Technische Universität Berlin

Weihnachtsübung zur Allgemeinen Relativitätstheorie II

2009-04-11T08:16:02Z

85.179.11.30: /* Komplex 1: Grundlagen */

Die folgende Auflistung umfasst einen Fragenkatalog zur Allgemeinen Relativitätstheorie, dieser kann zwangsläufig nicht vollständig sein! Ich hoffe jedoch, dass er Denjenigen, die planen die Prüfung abzulegen, eine gewisse Orientierung über die Dinge gibt, die man wissen könnte.
[...]
== Komplex 1: [[Grundlagen|Grundlagen der ART]] ==
*Wie verhalten sich [[Spezielle Relativitätstheorie]] und [[Newtonsche Gravitationstheorie]] zueinander?
*Was besagt das [[spezielles Relativitätsprinzip|spezielle Relativitätsprinzip]]?
*Was ist ein [[Lichtkegel]]? Welche verschiedenen [[Abstände]] gibt es?
*Wie sehen die [[Minkowski-Metrik]] und die [[Lorentz-Transformationen]] aus? Was sind [[Poincare-Transformation|Poincare-]] und [[Galilei-Transformation|Galilei-Transformationen]] und welche Symmetrien und Erhaltungssätze gehören dazu?
*Wie können Mechanik und Elektrodynamik in einer geeigneten Weise im Minkowskiraum dargestellt werden (auch [[Eigenzeit]] und [[4er-Impuls]])? Was für Größen treten da auf und was gibt‘s für Lösungen?
*Welche [[Energie-Impuls-Tensor|Energie-Impuls-Tensoren]] sind einem über den Weg gelaufen und was machen diese (ideale Flüssigkeit, elektromagnetisches Feld), [[Energie-Impuls-Bilanz]] und nicht relativistischer Limes?
*Welche Rolle spielen beschleunigte Bezugssysteme in der [[Spezielle Relativitätstheorie|Speziellen Relativitätstheorie]] und wie werden diese beschrieben?
*Welche verschiedenen [[Massebegriffe]] gibt es und was besagt das [[Äquivalenzprinzip]]?

== Komplex 2: Riemannsche Geometrie und Grundlagen der Gravitationstheorie ==
*Was ist ein [[Riemannscher Raum]]?
*Wie transformieren sich Tensoren im [[Riemannschen Raum]]?
*Wie sind [[Christoffelsymbole]] definiert und wie transformieren sich diese im Gegensatz zu [[Tensoren]] (wiederum [[Äquivalenzprinzip]])?
*Wie ist die [[kovariante Ableitung]] definiert?
*Wie sehen die [[Geodätengleichung]] und der [[Paralleltransport]] aus (auch [[Fermi-Walker-Transport]] und [[Lieableitung]])?
*Wie lauten die Definitionen des [[Krümmungstensors]] und wie lässt sich das veranschaulichen?
*Welche algebraischen und differenziellen Identitäten erfüllt der [[Krümmungstensor]]?
*Wie formuliert man (nicht gravitative) Grundgesetze kovariant?
*Wie vollzieht sich in etwa der Grenzübergang zur [[Newtonschen Gravitationstheorie]]?
*Welche Möglichkeiten sehen Sie zur Motivierung der [[Feldgleichungen]]?
*Wie lauten die [[Einsteinschen Feldgleichungen]], was sind die auftretenden Größen (Eindeutigkeit etc.)?
*Was ist die Bedeutung der Divergenzfreiheit des [[Energie-Impuls-Tensors]], woraus folgt diese und stellt sie Einschränkungen an den [[Riemannschen Raum]]?
*Gibt es allgemein Erhaltungsgrößen?
*Was sind [[Killingvektoren]] und was haben diese mit Erhaltungsgrößen zu tun?
*Wie kann man die [[Feldgleichungen]] aus einem [[Variationsprinzip]] ableiten?
*Welche Bedingungen müssen gefordert werden?
*Wie verhalten sich Variationsprinzip und Feldgleichungen bei Anwesenheit von Materie (metrischer [[Energie-Impuls-Tensor]] und [[Materiefeldgleichungen]])?
*Was besagt die [[Deviationsgleichung]] (insbesondere ist das auch für [[Gravitationswellen]] wichtig)?

== Komplex 3: Spezielle Lösungen und Effekte ==
*Wie gelangt man zu den linearisierten [[Feldgleichungen]], wie ist ihr Verhältnis zur vollständigen Theorie? (Dies muss man natürlich auch besonders bei den [[Gravitationswellen]] wissen.)
*Was beschreibt die [[Schwarzschildlösung]] und wie sieht sie aus?
*Wie wird diese Lösung motiviert und wie beschreibt man dann die [[klassischen Tests]]?
*Was sind Testkörper?
*Grundkenntnisse über die [[klassischen Tests]] der ART (theoretische Beschreibung und experimentelles Vorgehen)?

== Komplex 4: Gravitationswellen ==
*Was sind [[Gravitationswellen]] und welche Eigenschaften haben diese?
*Wie kommt man zu diesen Wellen überhaupt und was gibt es für allgemeine Lösungen?
*Was sind die [[Eichtransformationen]] und woher kommen diese?
*Was besagt der [[Energie-Impuls-Tensor]] einer [[Gravitationswelle]], woher kommt er, was beschreibt er?
*Warum Monopol-, Dipol-, [[Quadrupolstrahlung]] auftreten oder auch nicht?
*Wie misst man [[Gravitationswellen]]?

== Komplex 5: Kosmologie ==
*Was ist Ziel der [[Kosmologie]]?
*Welche Lösungen der [[Feldgleichungen]] benutzt man zur kosmologischen Beschreibung, welchen Eigenschaften haben diese und welche Probleme lösen Sie und welche erzeugen Sie?
*Unter welchen Annahmen sind diese Gleichungen vollständig, Intergrationsbedingungen, [[Friedmann-Gleichung]]?
*Einige [[kosmologische Modelle]]?
*Wie beobachtet man in etwa, was und warum?

== Komplex 6: [[Quantengravitation]] ==
*Was möchte die [[Quantengravitation]] überhaupt beschreiben?
*Wie geht die kanonische Formulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie von statten (welche zusätzlichen Annahmen muss man machen)?
*Worin liegen die besonderen Probleme der kanonischen Formulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie ([[Zwangsgleichungen]])?
*Welches sind die [[Feldvariablen]] und die anderen Größen?
*Was ist die [[Wheeler-DeWitt-Gleichung]]?
*Wie kann man Theorien mit Zwangsgleichungen quantisieren ([[Dirac-Quantisierung]])?

== Komplex 7: Alles was ich vergessen habe ==
© Prof. Dr. H.-H. v. Borzeszkowski, Dr. T. Chrobok, Dr. N. Bücking

Technische Universität Berlin

PhysikWiki:Portal

2009-04-10T19:33:53Z

85.179.11.30: Die Seite wurde neu angelegt: (Hyperflächen, Lapse-Funktion, Shift-Vektor, Hamiltonsche Formulierung der Feldgleichungen). Nun aber zum zeitlichen Ablauf der Prüfung: -Krümmungstensor (Definiti...

(Hyperflächen, Lapse-Funktion,
Shift-Vektor, Hamiltonsche Formulierung der Feldgleichungen).

Nun aber zum zeitlichen Ablauf der Prüfung:

-Krümmungstensor (Definition, Kontraktionen: Ricci-Tensor, Ricci-Skalar,
Identitäten, kurze Denkfrage: kontrahiere ich über zwei
andere Indizes als bei der Bildung des Ricci-Tensors
(z.B. die ersten beiden Indizes),
so muss sich aufgrund des Symmetrieverhaltens ein
verschwindender Ausdruck ergeben)
- Christoffelsymbole (Formel, Transformationsverhalten (kein Tensor!),
Rolle in der SRT (beschleunigte
Nichtinertialsysteme!), deren Anwendung bei der
kovarianten Ableitung)
-Parallelverschiebung
-Energie-Impuls-Tensor (Gestalt bei der idealen Flüssigkeit,
wie gewinne ich den E-I-T aus der Lagrangedichte)
- Einsteinsche Feldgleichungen (Herleitung über Variationsprinzip)
- Schwarzschildmetrik (metrische Koeffizienten, eventuelle Singularitäten:
0 und der Schwarzschildradius, sind diese
Singularitäten von phys. Bedeutung, Antwort: evtl.
der Schwarzschildradius, Stichwort schwarze Löcher;
-Tests(Periheldrehung, was ist das?, wie groß ist diese etwa?,
Radarechoverzögerung, deren Deutung: Licht muss im Grav.feld
langsamer laufen, weitere Tests aufzählen)
- Bewegung eines Planeten im Grav.feld der Sonne (Periheldrehung könnte
Überleitung sein)
- innere Schwarzschildmetrik (Sonne als mögliche Überleitung)

Schließlich ging es zum Vertiefungsthema:
- Robertson-Walker-Metrik (wie wird sie motiviert)
- Friedmann-Gleichung (Zusammenfassung der Herleitung)
- Weltmodelle (welchen Rückschluss kann man von dem Wert der kosmologischen
Konstante auf die Beschleunigung bzw. Verzögerung der kosmischen
Expansion ziehen)

Quantengravitation

2009-04-10T17:51:42Z

85.179.11.30: Die Seite wurde neu angelegt: * Im Interesse einer Verieinheitlichung der Wechselwirkungen, sollten alle Wechselwirkungen quantisiert werden. * Quantisierung des Gravitationsfeldes konnte Gravitatio...

* Im Interesse einer Verieinheitlichung der Wechselwirkungen, sollten alle Wechselwirkungen quantisiert werden.
* Quantisierung des Gravitationsfeldes konnte Gravitationskollaps, kosmologische Singularität und ... beseitigen.

[[Kategorie:ART]]

Christoffelsymbole

2009-04-10T11:13:25Z

85.179.11.30:

<math>
\Gamma _{{\color{Red}\mu} {\color{Violet}\nu } }^{{\color{Orange}\alpha}}
=
\frac{1}{2}
{{g}^{{\color{Orange}\alpha}\sigma }}\left(
{{g}_{\sigma {\color{Violet}\mu } ,{\color{Red}\nu} }}
+
{{g}_{\sigma {\color{Red}\nu} ,{\color{Violet}\mu } }}
-
{{g}_{{\color{Red}\mu} {\color{Violet}\nu } ,\sigma }} \right)
</math>

<math>\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }=\frac{\color{Brown}\partial {{x}^{\alpha }}}{\partial {{\xi }^{\beta }}}\frac{{{\partial }^{2}}{{\xi }^{\beta }}}{\color{Brown}\partial {{x}^{\mu }}\partial {{x}^{\nu }}}</math>

== Verhalten bei Koordinatentransformation ==

<math>\Gamma{'}_{\mu \nu }^{\alpha }=\frac{\partial x{{'}^{\alpha }}}{\partial {{x}^{\beta }}}\frac{\partial {{x}^{\rho }}}{\partial x{{'}^{\mu }}}\frac{\partial {{x}^{\sigma }}}{\partial x{{'}^{\nu }}}\Gamma _{\rho \sigma }^{\beta }+\frac{\color{Brown}\partial x{{'}^{\alpha }}}{\partial {{x}^{\beta }}}\frac{{{\partial }^{2}}{{x}^{\beta }}}{\color{Brown}\partial x{{'}^{\mu }}\partial x{{'}^{\nu }}}</math>

Christoffelsymbole

2009-04-10T11:11:57Z

85.179.11.30:

<math>
\Gamma _{{\color{Red}\mu} {\color{Violet}\nu } }^{{\color{Orange}\alpha}}
=
\frac{1}{2}
{{g}^{{\color{Orange}\alpha}\sigma }}\left(
{{g}_{\sigma {\color{Violet}\mu } ,{\color{Red}\nu} }}
+
{{g}_{\sigma {\color{Red}\nu} ,{\color{Brown}\mu } }}
-
{{g}_{{\color{Red}\mu} {\color{Violet}\nu } ,\sigma }} \right)
</math>

<math>\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }=\frac{\color{Violet}\partial {{x}^{\alpha }}}{\partial {{\xi }^{\beta }}}\frac{{{\partial }^{2}}{{\xi }^{\beta }}}{\partial {{x}^{\mu }}\partial {{x}^{\nu }}}</math>

== Verhalten bei Koordinatentransformation ==

<math>\Gamma{'}_{\mu \nu }^{\alpha }=\frac{\partial x{{'}^{\alpha }}}{\partial {{x}^{\beta }}}\frac{\partial {{x}^{\rho }}}{\partial x{{'}^{\mu }}}\frac{\partial {{x}^{\sigma }}}{\partial x{{'}^{\nu }}}\Gamma _{\rho \sigma }^{\beta }+\frac{\partial x{{'}^{\alpha }}}{\partial {{x}^{\beta }}}\frac{{{\partial }^{2}}{{x}^{\beta }}}{\partial x{{'}^{\mu }}\partial x{{'}^{\nu }}}</math>

Christoffelsymbole

2009-04-10T10:56:50Z

85.179.11.30:

Riemannscher Raum

2009-04-10T10:49:51Z

85.179.11.30:

Der Riemannsche Raum <math>V_4</math>: ist eine 4-Dimensionale Mannigfaltigkeit mit einer Metrik <math>g_{\mu \nu}</math> für die gilt:
# Das Linienelement <math>d{{s}^{2}}={{g}_{\mu \nu }}d{{x}^{\mu }}d{{x}^{\nu }}</math> ist invariant bezüglich '''allgemeinen''' Koordinatentransformationen
# Die Signatur von <math>g_{\mu \nu}</math> ist -2.

[[Kategorie:ART]]

[[Kategorie:Definition]]

Riemannscher Raum

2009-04-10T10:47:44Z

85.179.11.30: Die Seite wurde neu angelegt: Der Riemannsche Raum V_4 : ist eine 4-Dimensionale Mannigfaltigkeit mit einer Metrik <math>g_{\mu \nu}</math> für die gilt: # Das Linienelement <math>ds^2=g_{\mu \nu}<...

Der Riemannsche Raum V_4 : ist eine 4-Dimensionale Mannigfaltigkeit mit einer Metrik <math>g_{\mu \nu}</math> für die gilt:
# Das Linienelement <math>ds^2=g_{\mu \nu}</math> bleibt invariant bezüglich beliebieger Koordinatentransformationen
# Die Signatur von <math>g_{\mu \nu}</math> ist -2.

[[Kategorie:ART]]