Das Zweikörperproblem

2011-07-01T22:18:27Z

83.151.22.12: /* Impuls- und Drehimpulserhaltung */

<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|3|5}}</noinclude>
Hier werden die Erhaltungssätze zur Lösung der Bewegungsgleichung verwendet.

Idee:

f Freiheitsgrade → f Differenzialgleichungen 2. Ordnung

* 2f Integrationskonstanten nötig! (jeweils zweifaches Integrieren). (Anfangsbedingungen).
* Also existieren auch 2f Integrale der Bewegung

Falls alle 2f Integrale der Bewegung bekannt wären:

:<math>{{I}_{r}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{\dot{q}}_{1}},...{{\dot{q}}_{f}})={{c}_{r}}\quad \quad r=1,...2f</math>

So wäre das Problem vollständig gelöst:

:<math>{{q}_{k}}={{q}_{k}}({{c}_{1}},...,{{c}_{2f}},t)\quad \quad k=1,...,f</math>

Also ist es das Ziel, möglichst viele Integrale der Bewegung zu finden.

Beispiel: Zweikörperproblem

2 Massen, m1 und m2 unter dem Einfluss Ihrer inneren Wechselwirkung: V(|r1-r2|) (Zentralpotenzial).

Beispiel: Sonne / Erde unter Gravitationswechselwirkung

Zahl der Freiheitsgrade: f=6

Also: es muessten 12 Integrale der Bewegung existieren

<u>'''Erhaltungssätze'''</u>

# V(|r1-r2|) ist translationsinvariant.
Somit ist der Impuls:
:<math>\bar{P}={{\bar{p}}_{1}}+{{\bar{p}}_{2}}</math>
=konstant

Der Schwerpunkt:
:<math>\bar{R}=\frac{1}{M}\bar{P}t+{{\bar{R}}_{0}}</math>
bewegt sich gleichförmig und geradlinig.

Dies folgt aus:
:<math>M\dot{\bar{R}}=\bar{P}=const</math>

M:=m1 + m2

Somit sind 6 Integrationskonstanten gefunden:
:<math>\bar{P},\bar{R}</math>

# V(|r1-r2|) ist rotationsinvariant:
Damit ist der Drehimpuls
:<math>\bar{l}={{m}_{1}}{{\bar{r}}_{1}}\times {{\bar{v}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\bar{r}}_{2}}\times {{\bar{v}}_{2}}=const</math>

Es sind drei weitere Integrationskonstanten
:<math>\bar{l}</math>
gefunden.

# Die zeitliche Translationsinvarianz bei konservativer Kraft:

:<math>E=\frac{1}{2}{{m}_{1}}{{\bar{v}}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}{{m}_{2}}{{\bar{v}}_{2}}^{2}+V\left( \left| {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right| \right)=const</math>

Eine Integrationskonstante E

Insgesamt sind 10 Integrale der Bewegung gefunden. Es bleiben nur 2 Integrationskonstanten, nämlich der Nullpunkt der Zeit- und Winkelskala. Diese ergeben sich aus den ANfangsbedingungen.

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