Grundbegriffe der Mechanik

2011-07-01T18:43:49Z

58.64.151.135: /* Das Newtonsche Gravitationsgesetz (empirisch) */

<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|0}}</noinclude>

= Theoretische Physik I: Mechanik =

'''Klassische Mechanik''' im Gegensatz von Relativität, Quantenmechanik und statistischer Mechanik :

: beschreibt die Bewegung von Körpern

: ist '''deterministisch''' (aus Anfangsbedingungen berechenbar)

: ist '''kausal''' (durch Kräfte verursacht)

Mechanik leistet

: einen Überblick über die physikalischen Grundbegriffe

: liefert das Paradigma einer physikalischen Theorie (als mathematisch- geometrische Struktur der Dynamik)

Die Mechanik soll nicht dargestellt sein als Mechanik von mechanischen Systemen aus Massepunkten mit Näherungen und Vernachlässigungen, die zu exakt lösbaren Problemen führen.

Mechanik soll heute den '''formalen''' Rahmen betonen

* Symmetrien und Invarianzprinzipien
* geometrische Strukturen
* Nichtlineare Theorie
* Grundlagen für andere Theorien

Die Mechanik soll verallgemeiner, '''kanonisch formuliert''' werden

* Lagrangeformalismus: Feldtheorien (E-Dynamik, Relativität)
* Hamiltonformalismus (Quantenmechanik und Statistische Mechanik)

= Inhalt der Vorlesung =

: Extremalprinzipien

:: Differenzialprinzip: d'Alembertsches Prinzip [[Das d'Alembertsche Prinzip|Kapitel 1]]

:: Integralprinzip: Hamiltonsches Prinzip [[Das Hamiltonsche Prinzip|Kapitel 2]]

: Hamiltonsche Gleichungen [[Symmetrien und Erhaltungsgrößen|Kapitel 3]],[[Der Hamiltonsche kanonische Formalismus|4]],[[Die Hamilton-Jacobi-Theorie|5]]

: Mechanik des starren Körpers [[Mechanik des starren Körpers|Kapitel 6]]

: Dynamische Systeme und deterministisches Chaos [[Dynamische Systeme und deterministisches Chaos|Kapitel 7]]

=Grundbegriffe=
__TOC__
Kinematik und Dynamik von Systemen von Massepunkten ohne Zwangsbedingungen: Newtonsche Mechanik

<u>'''Axiome Newtons'''</u>

# kräftefrei = geradlinig und gleichförmig Bewegung
# Beschleunigung: <math>\vec{a}=\frac{d}{dt}\vec{v}\propto \vec{F}</math>
# actio = reactio
# lineares Superpositionsprinzip (lineare Superposition von Kräften)

<u>'''Bemerkungen'''</u>

Körper = Massepunkt (empirisch motiviert)

Kraft = mechanische Auswirkung einer nicht näher zu spezifizierenden Wechselwirkung (Gravitation, schwach, elektromagnetisch, stark)

Theorie der Kraft ist Feldtheorie und damit nicht Gegenstand der Mechanik

Erledigt: Edynamik. Ziel: GUT

Die Definition von geradlinig und gleichförmig ist operativ. Geradlinig bestimmt den starren Maßstab und gleichförmig die absolute zeit.(Uhr).

Dadurch werden Struktur von Raum und Zeit bestimmt.

Experimentell zeigte sich:

: Der Raum ist homogen und isotrop (3dimensioal und euklidisch)

: Zeit ist universell (unendlich schnelle Signalgeschwindigkeit)

Ereignis:

Dynamische Variable:
:<math>\vec{r}(t)</math>
ist Bahnkurve,
:<math>\vec{v}(t):=\frac{d}{dt}\vec{r}(t)=\dot{\vec{r}}</math>
ist Tangentialvektor

==== 1. Newtonsches Axiom ====
existiert ein '''Inertialsystem''' (operativ durch kräftefreie Bewegung definiert).

Galilei- Transformation leistet die generelle Trafo zwischen 2 Inertialsystemen. [[Datei:CoordinateTranslation.png|miniatur|Zwei Koordinatensysteme]]

Bewege sich ein gestrichenes System mit vo nach rechts und lagen die Ursprünge zur Zeit t aufeinander, so gilt für die allgemeine Trafo zwischen 2 Inertialsystemen:
:<math>\{K,t\}\to \{K\acute{\ },t\acute{\ }\}</math>

:<math>\begin{align}
& \vec{r}(t)=\vec{r}\acute{\ }(t)+{{{\vec{v}}}_{o}}(t)\cdot t+{{{\vec{s}}}_{o}} \\
& t\acute{\ }=t \\
\end{align}</math>

Dabei bezeichnet
:<math>{{\vec{s}}_{o}}</math>
den Koordinatenursprung des ungestrichenen Systems.

Sind die Koordinatensysteme gleichzeitig noch gegeneinander verdreht, so gilt:

:<math>\begin{align}
& \vec{r}(t)=\overline{\overline{R}}\vec{r}\acute{\ }(t)+{{{\vec{v}}}_{o}}(t)\cdot t+{{{\vec{s}}}_{o}} \\
& t\acute{\ }=t \\
\end{align}</math> wobei <math>\overline{\overline{R}}</math>
die Drehmatrix bezeichnet.

Gegen diese Form der Transformation ist die Newtonsche Mechanik forminvariant: '''Galilei- Invarianz'''

==== 2. Newtonsches Axiom ====

:<math>\vec{a}=\frac{d}{dt}\vec{v}\propto \vec{F}</math>,
dabei existiert ein skalarer Faktor m, die träge Masse

man gewinnt die Bewegungsgleichung:

:<math>\vec{F}(\vec{r},\frac{d}{dt}\vec{r})=m\frac{{{d}^{2}}}{{{(dt)}^{2}}}\vec{r}</math>

Dies ergibt 3 gekoppelte, nichtlineare Differenzialgleichungen

Es existiert jedoch eine eindeutige Lösung zu den Anfangsbedintgungen
:<math>({{t}_{o}},{{\vec{r}}_{o}}):\vec{r}(t;{{\vec{r}}_{o}},{{t}_{o}})</math>

Diese Lösung heißt Bahn oder auch Trajektorie oder Orbit.

Dude, right on there btroher.

==== 4. Vektorcharakter der Kraft ====

Kräfte haben Vektorcharakter. Damit sind sie superpositionierbar.

Kräfte entsprechen Feldern. Die entstehenden Theorien sind damit dann lineare Feldtheorien.

Jedoch ist die Bewegungsgleichung
:<math>\vec{F}(\vec{r},\frac{d}{dt}\vec{r})=m\frac{{{d}^{2}}}{{{(dt)}^{2}}}\vec{r}</math> im Allgemeinen nichtlinear (im Ort, in der Bahnkurve r)

Die einzige Ausnahme bildet der harmonische Oszillator

:<math>\vec{F}(\vec{r},\frac{d}{dt}\vec{r})\propto \vec{r}</math>

Now thats sublte! Great to hear from you.

==Prüfungsfragen==
===Knorr===
Wie lauten die Newtonschen Gleichungen?

Potential: Wie ist konservative Kraft definiert?
</noinclude>

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