https://physikerwelt.de:8080/w/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=50.56.29.144testwiki - User contributions [en]2026-06-18T21:26:36ZUser contributionsMediaWiki 1.43.0-wmf.28https://physikerwelt.de:8080/w/index.php?title=St%C3%B6rungen_integrabler_Systeme&diff=1999Störungen integrabler Systeme2011-07-02T04:41:42Z<p>50.56.29.144: /* KAM- Theorem */</p>
<hr />
<div><noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|5|3}}</noinclude><br />
<br />
ein integrables, quasiperiodisches, autonomes Hamiltonsches System mit der Wirkungsvariablen<br />
<br />
<br />
:<math>\bar{I}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})</math><br />
und der Winkelvariablen<br />
:<math>\bar{\theta }({{\theta }_{1}},...,{{\theta }_{f}})</math>,<br />
Hamiltonfunktion<br />
:<math>{{H}_{0}}(\bar{I})</math><br />
<br />
<br />
Betrachten wir nun eine kleine Störung der Stärke<br />
:<math>\varepsilon </math><br />
:<br />
<br />
<br />
:<math>H(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )={{H}_{0}}(\bar{I})+\varepsilon {{H}_{1}}(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )</math><br />
<br />
<br />
In diesem Fall ist<br />
:<math>\theta </math><br />
nicht mehr zyklisch.<br />
:<math>\bar{I}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})</math><br />
ist also keine Bewegungskonstante mehr!<br />
<br />
====Beispiel:====<br />
Himmelsmechanik, beispielsweise restringiertes 3- Körper- Problem<br />
<br />
System: Sonne, Erde, Mond<br />
<br />
* integrables 2- Körper- Problem mit 2 größeren Massen (annähernd Kreisbahn) und einer kleinen Masse m3 als Störung<br />
* Frage: Ist die quasiperiodische Bewegung über lange Zeiten stabil ? Das heißt: Verändert die Störung die Struktur der Bewegungsmannigfaltigkeit nur wenig ?<br />
<br />
Also:<br />
<br />
Durch eine dritte Masse m3 ist eine Störung gegeben. Die Bewegung konnte auch vorher (bei irrationalem Verhältnis der Umlaufszeiten oder Frequenzen) schon nur quasiperiodisch sein.<br />
<br />
Ist die quasiperiodische Lösung unter Anwesenheit der dritten Masse jedoch noch stabil ?<br />
<br />
* Dies ist bis heute ungelöst... Es gibt jedoch Hinweise auf chaotische Bewegungen, beispielsweise chaotische Bewegungen des Planeten Pluto!<br />
<br />
Teilantwort liefert die KAM_ Theorie (Kolmogorov, Arnold, Moser, 1954, 1963, 1967)<br />
<br />
* Stabilitätsaussagen<br />
<br />
<u>'''Voraussetzung:'''</u><br />
<br />
Die Frequenzen des integrablen Systems<br />
:<math>{{H}_{0}}(\bar{I})</math><br />
sind rational unabhängig, also:<br />
<br />
<br />
:<math>\sum\limits_{i=1}^{f}{{{r}_{i}}{{\omega }_{i}}=0\quad {{r}_{i}}\in Z\Leftrightarrow {{r}_{1}}=...={{r}_{f}}=0}</math><br />
<br />
<br />
Dann überdeckt jede Bahn für festes<br />
:<math>{{I}_{k}}={{\alpha }_{k}}</math><br />
den Torus<br />
:<math>{{T}^{f}}</math><br />
dicht ohne sich jedoch zu schließen: Die Bewegung ist ergodisch.<br />
<br />
'''ERGODISCHE Bewegung '''(nichtresonanter Torus)<br />
<br />
Thanks for the insgiht. It brings light into the dark!</div>50.56.29.144