Symplektische Struktur des Phasenraums

2011-07-02T07:07:20Z

202.46.127.228: /* Beweis: */

<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|4|4}}</noinclude>

Da die kanonischen Transformationen generalisierte Koordinaten und Impulse ineinander transformieren können, sollten q und p nicht gegeneinander ausgezeichnet sein. Um diese Symmetrie des kanonischen Formalismus auszuzeichnen, wird eine neue Notation eingeführt.

Sei zunächst f= 1

:<math>\bar{x}:=\left( \begin{matrix}
q \\
p \\
\end{matrix} \right)</math>
ist Vektor im Phasenraum

:<math>{{H}_{,}}_{x}:=\left( \begin{matrix}
\frac{\partial H}{\partial q} \\
\frac{\partial H}{\partial p} \\
\end{matrix} \right)</math>
ist Ableitungsvektor

:<math>J:=\left( \begin{matrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{matrix} \right)</math>
ist Metrik im Phasenraum (metrischer Tensor)

In diesem Fall lassen sich die kanonischen Gleichungen vereinfacht schreiben als:

:<math>\dot{\bar{x}}:=J{{H}_{,x}}\Leftrightarrow -J\dot{\bar{x}}={{H}_{,x}}\Leftrightarrow \dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p},\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}</math>

Leicht läßt sich zeigen:

:<math>\begin{align}
& {{J}^{2}}=-1 \\
& {{J}^{-1}}={{J}^{T}}=-J \\
\end{align}</math>

====Verallgemeinerung auf mehr Freiheitsgrade====

:<math>\begin{align}
& \bar{x}:=\left( \begin{matrix}
{{q}_{1}} \\
... \\
{{q}_{f}} \\
{{p}_{1}} \\
... \\
{{p}_{f}} \\
\end{matrix} \right) \\
& {{{\bar{H}}}_{x}}:=\left( \begin{matrix}
\frac{\partial H}{\partial {{q}_{1}}} \\
... \\
\frac{\partial H}{\partial {{q}_{f}}} \\
\frac{\partial H}{\partial {{p}_{1}}} \\
... \\
\frac{\partial H}{\partial {{p}_{f}}} \\
\end{matrix} \right)\quad \quad J:=\left( \begin{matrix}
0 & {{1}_{f}} \\
-{{1}_{f}} & 0 \\
\end{matrix} \right) \\
\end{align}</math>

Die kanonischen Gleichungen lauten

:<math>\dot{\bar{x}}:=J{{H}_{x}}\Leftrightarrow -J\dot{\bar{x}}={{H}_{x}}</math>

Beispiel ist ein lineares autonomes System in einer Dimension, also der verallgemeinerte eindimensionale harmonische Oszillator:

:<math>\dot{\bar{x}}:=A\bar{x}=J{{H}_{x}}</math>

Diese Gleichung ist abzuleiten aus der Hamiltonfunktion:

:<math>H=\frac{1}{2}\left( a{{q}^{2}}+2bqp+c{{p}^{2}} \right)\quad z.\mathbf{B}.a={{\omega }_{0}}^{2},b=0,c=1</math>

:<math>\Rightarrow \dot{\bar{x}}:=\left( \begin{matrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
\frac{\partial H}{\partial q} \\
\frac{\partial H}{\partial p} \\
\end{matrix} \right)=\begin{matrix}
bq+cp \\
-aq-bp \\
\end{matrix}</math>

Somit ergibt sich eine Einschränkung an die Matrix A:

:<math>\begin{align}
& A=\left( \begin{matrix}
b & c \\
-a & -b \\
\end{matrix} \right) \\
& tr\left( A \right)=0 \\
\end{align}</math>

Dies gilt für Hamiltonsche Systeme! (Einschränkung an die Dynamik im Phasenraum)

====Kanonische Transformationen in kompakter Notation====

Aus den 4 Äquivalenten Formen der Erzeugenden für kanonische Transformationen folgt:

#
:<math>\begin{align}
& {{M}_{1}}(\bar{q},\bar{Q},t): \\
& \Rightarrow {{p}_{j}}=\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{j}}} \\
& {{P}_{j}}=-\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}} \\
& \Rightarrow \frac{\partial {{p}_{j}}}{\partial {{Q}_{k}}}=\frac{{{\partial }^{2}}{{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}\partial {{q}_{j}}}=-\frac{\partial {{P}_{k}}}{\partial {{q}_{j}}} \\
\end{align}</math>

#
:<math>\begin{align}
& {{M}_{2}}(\bar{q},\bar{P},t)={{M}_{1}}(\bar{q},\bar{Q},t)-\sum\limits_{j=1}^{f}{{}}\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}}{{Q}_{j}} \\
& \Rightarrow {{p}_{j}}=\frac{\partial {{M}_{2}}}{\partial {{q}_{j}}} \\
& {{Q}_{j}}=\frac{\partial {{M}_{2}}}{\partial {{P}_{j}}} \\
& \Rightarrow \frac{\partial {{p}_{j}}}{\partial {{P}_{k}}}=\frac{{{\partial }^{2}}{{M}_{2}}}{\partial {{P}_{k}}\partial {{q}_{j}}}=\frac{\partial {{Q}_{k}}}{\partial {{q}_{j}}} \\
\end{align}</math>

#
:<math>\begin{align}
& {{M}_{3}}(\bar{p},\bar{Q},t)={{M}_{1}}(\bar{q},\bar{Q},t)-\sum\limits_{j=1}^{f}{{}}\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{j}}}{{q}_{j}} \\
& \Rightarrow {{q}_{j}}=\frac{\partial {{M}_{3}}}{\partial {{p}_{j}}} \\
& {{P}_{j}}=-\frac{\partial {{M}_{3}}}{\partial {{Q}_{j}}} \\
& \Rightarrow \frac{\partial {{q}_{j}}}{\partial {{Q}_{k}}}=-\frac{{{\partial }^{2}}{{M}_{3}}}{\partial {{Q}_{k}}\partial {{p}_{j}}}=\frac{\partial {{P}_{k}}}{\partial {{p}_{j}}} \\
\end{align}</math>

#
:<math>\begin{align}
& {{M}_{4}}(\bar{p},\bar{P},t)={{M}_{1}}(\bar{q},\bar{Q},t)-\sum\limits_{j=1}^{f}{{}}\left( \frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}}{{Q}_{j}}+\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{j}}}{{q}_{j}} \right) \\
& \Rightarrow {{q}_{j}}=-\frac{\partial {{M}_{4}}}{\partial {{p}_{j}}} \\
& {{Q}_{j}}=\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{P}_{j}}}={{q}_{j}} \\
& \Rightarrow \frac{\partial {{q}_{j}}}{\partial {{P}_{k}}}=\frac{{{\partial }^{2}}{{M}_{1}}}{\partial {{P}_{k}}\partial {{p}_{j}}}=-\frac{\partial {{Q}_{k}}}{\partial {{p}_{j}}} \\
\end{align}</math>

Dabei sind:

:<math>\bar{x}:=\left( \begin{matrix}
{{q}_{1}} \\
... \\
{{q}_{f}} \\
{{p}_{1}} \\
... \\
{{p}_{f}} \\
\end{matrix} \right)\quad \quad \bar{y}:=\left( \begin{matrix}
{{Q}_{1}} \\
... \\
{{Q}_{f}} \\
{{P}_{1}} \\
... \\
{{P}_{f}} \\
\end{matrix} \right)</math>

:<math>\begin{align}
& {{M}_{\alpha \beta }}=\frac{\partial {{x}_{\alpha }}}{\partial {{y}_{\beta }}} \\
& {{\left( {{M}^{-1}} \right)}_{\alpha \beta }}:=\frac{\partial {{y}_{\alpha }}}{\partial {{x}_{\beta }}}\quad \quad \alpha ,\beta =1,...,2f \\
\end{align}</math>

====Beweis:====

:<math>\sum\limits_{\gamma =1}^{2f}{{}}{{M}_{\alpha \gamma }}{{\left( {{M}^{-1}} \right)}_{\gamma \beta }}=\sum\limits_{\gamma =1}^{2f}{{}}\frac{\partial {{x}_{\alpha }}}{\partial {{y}_{\gamma }}}\frac{\partial {{y}_{\gamma }}}{\partial {{x}_{\beta }}}=\frac{\partial {{x}_{\alpha }}}{\partial {{x}_{\beta }}}={{\delta }_{\alpha \beta }}</math>

Damit läßt sich eine einheitliche Schreibweise finden für die Relationen aller Erzeugenden:

:<math>{{M}_{\alpha \beta }}=\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{2f}{{{J}_{\alpha \mu }}{{J}_{\beta \nu }}{{\left( {{M}^{-1}} \right)}_{\mu \nu }}}</math>

Youre a real deep thikenr. Thanks for sharing.

====Definition:====
Die Menge der Matrizen M (kanonische Trafo) mit

:<math>{{M}^{T}}JM=J</math>
bildet die reelle symplektische Gruppe S über
:<math>{{R}^{2f}}</math>.

Dies ist die Symmetriegruppe der symplektischen Struktur.

Furrealz? That's marvelosluy good to know.

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Symplektische Struktur des Phasenraums