Der Satz von Liouville

2011-07-01T23:49:44Z

196.200.140.19: /* Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi */

<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|4|5}}</noinclude>

Lösung der Differenzialgleichung
:<math>\dot{\bar{x}}:=A\bar{x}=J{{\bar{H}}_{,x}}</math>

:<math>\bar{x}\left( t,{{t}_{0}},{{{\bar{x}}}_{0}} \right)=:{{\bar{\Phi }}_{t,{{t}_{0}}}}({{\bar{x}}_{0}})</math>
Definition: Fluß im Phasenraum

to und xo beschreibt die Anfangskonfiguration und Phi den Fluß.

Der Fluß beschreibt dabei die Zeitentwicklung der Anfangskonfiguration:

:<math>\begin{align}
& {{{\bar{\Phi }}}_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}}):\Gamma \to \Gamma \\
& {{{\bar{x}}}_{0}}({{t}_{0}})\to \bar{x}(t) \\
\end{align}</math>

Dies entspricht einer Kurvenschar, die durch die Zeit parametrisiert ist:

Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi:

:<math>\begin{align}
& \left( q,p \right)\in \Gamma \\
& \dot{q}=p \\
& \dot{p}=-{{\omega }_{0}}^{2}q \\
& \dot{\bar{x}}=A\bar{x} \\
& A=\left( \begin{matrix}
0 & 1 \\
-{{\omega }_{0}}^{2} & 0 \\
\end{matrix} \right) \\
\end{align}</math>

Die Lösung lautet:

:<math>\bar{x}(t)={{\bar{\Phi }}_{t-{{t}_{0}}}}({{\bar{x}}_{0}})=\exp \left[ \left( t-{{t}_{0}} \right)A \right]{{\bar{x}}_{0}}</math>

Dies ist also gerade das Exponenzial der Matrix.

Aufschluss liefert eine Reihenentwicklung:

:<math>\begin{align}
& \bar{x}(t)=\sum\limits_{n}{{}}\frac{{{\left[ \left( t-{{t}_{0}} \right)A \right]}^{n}}}{n!}{{{\bar{x}}}_{0}}=\left[ 1\cos {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})+\frac{A}{{{\omega }_{0}}}\sin {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}}) \right]{{{\bar{x}}}_{0}} \\
& =\left( \begin{matrix}
\cos {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}}) & \frac{1}{{{\omega }_{0}}}\sin {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}}) \\
-{{\omega }_{0}}\sin {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}}) & \cos {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}}) \\
\end{matrix} \right){{{\bar{x}}}_{0}} \\
\end{align}</math>

Beweis:

:<math>\begin{align}
& {{A}^{2}}=\left( \begin{matrix}
0 & 1 \\
-{{\omega }_{0}}^{2} & 0 \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
0 & 1 \\
-{{\omega }_{0}}^{2} & 0 \\
\end{matrix} \right)=-{{\omega }_{0}}^{2}1 \\
& {{A}^{2n}}={{(-1)}^{2n}}{{\omega }_{0}}^{2n}1 \\
& {{A}^{2n+1}}={{(-1)}^{n}}{{\omega }_{0}}^{2n+1}\frac{1}{{{\omega }_{0}}}A \\
\end{align}</math>

Als Ergebnis erhalten wir, dass alle Phasenpunkte mit gleicher, konstanter Winkelgeschwindigkeit wo, rotieren: Ein Ensemble von Anfangskonfigurationen Uto läuft zum Zeitpunkt Ut insbesondere nicht auseinander.

Das bedeutet, das Gebiet Uto wandert ohne Änderung der Form und Orientierung um den Nullpunkt:

Man erhält als markantes Ergebnis, dass das Phasenvolumen bei der Zeitentwicklung erhalten ist. Im Allgemeinen ändert sich zwar die Form, stets gilt jedoch der Liouvillesche Satz:

Bei der Hamiltonschen Zeitentwicklung ist das Phasenvolumen erhalten (auch seine Orientierung). Der Fluß im Phasenraum ist also divergenzfrei.

====Beweis (integrale Form):====

Gegeben sei eine Menge von Anfangskonfigurationen (to), die das Phasenraumgebiet Uto mit dem Volumen Vto ausfüllen:

:<math>{{V}_{to}}=\int\limits_{{{U}_{to}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}</math>
Bei t:
:<math>{{V}_{t}}=\int\limits_{{{U}_{t}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left( \frac{\partial x}{\partial {{x}_{0}}} \right)=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}}) \right)</math>

Mit der Jacobi- Matrix:

:<math>{{\left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}}) \right)}_{ik}}:=\frac{\partial {{\Phi }^{i}}_{t,{{t}_{0}}}({{{\bar{x}}}_{0}})}{\partial {{x}_{0}}^{k}}=\frac{\partial {{x}^{i}}}{\partial {{x}_{0}}^{k}}</math>

Dies kann für Zeiten nahe t0 reihenentwickelt werden:

:<math>\begin{align}
& {{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}})={{{\bar{x}}}_{0}}+\bar{F}({{{\bar{x}}}_{0}},t)(t-{{t}_{0}})+O({{(t-{{t}_{0}})}^{2}}) \\
& \bar{F}({{{\bar{x}}}_{0}},t)=J{{{\bar{H}}}_{,x}}=\left( \begin{matrix}
\frac{\partial H}{\partial p} \\
-\frac{\partial H}{\partial q} \\
\end{matrix} \right) \\
\end{align}</math>

Somit folgt:

:<math>\frac{\partial {{\Phi }^{i}}_{t,{{t}_{0}}}({{{\bar{x}}}_{0}})}{\partial {{x}_{0}}^{k}}={{\delta }_{ik}}+\frac{\partial {{{\bar{F}}}^{i}}({{{\bar{x}}}_{0}},t)}{\partial {{x}_{0}}^{k}}(t-{{t}_{0}})+O({{(t-{{t}_{0}})}^{2}})</math>

Mit Hilfe
:<math>\det \left( 1+B\varepsilon \right)=1+\varepsilon tr(B)+O({{\varepsilon }^{2}})</math>
folgt:

:<math>\begin{align}
& \det \left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}} \right)=\left| \frac{\partial {{\Phi }^{i}}_{t,{{t}_{0}}}({{{\bar{x}}}_{0}})}{\partial {{x}_{0}}^{k}} \right|=1+(t-{{t}_{0}})\sum\limits_{i=1}^{2f}{{}}\frac{\partial {{{\bar{F}}}^{i}}({{{\bar{x}}}_{0}},t)}{\partial {{x}_{0}}^{i}}(t-{{t}_{0}})+O({{(t-{{t}_{0}})}^{2}}) \\
& \sum\limits_{i=1}^{2f}{{}}\frac{\partial {{{\bar{F}}}^{i}}({{{\bar{x}}}_{0}},t)}{\partial {{x}_{0}}^{i}}=div\bar{F}=\frac{\partial }{\partial q}\frac{\partial H}{\partial p}-\frac{\partial }{\partial p}\frac{\partial H}{\partial q}=0 \\
\end{align}</math>

Der Fluß im Phasenraum ist also divergenzfrei. Dann folgt jedoch für die Jacobideterminante:

:<math>\det \left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}} \right)=\left| \frac{\partial {{\Phi }^{i}}_{t,{{t}_{0}}}({{{\bar{x}}}_{0}})}{\partial {{x}_{0}}^{k}} \right|=1+O({{(t-{{t}_{0}})}^{2}})\cong 1</math>

:<math>\Rightarrow {{V}_{t}}=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}}) \right)=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\left( 1+O{{(t-{{t}_{0}})}^{2}} \right)\cong {{V}_{t0}}</math>

Nebenbemerkung:

Der Satz von Liouville kann auch in der LOKALEN Form formuliert werden:

Für den Fluß
:<math>{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}</math> zu <math>\dot{\bar{x}}:=J{{\bar{H}}_{,x}}</math> ist <math>D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}</math>
eine symplektische Matrix, das heißt
:<math>\det \left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}} \right)=1</math>.

Das bedeutet, das Volumenelement
:<math>d{{x}^{1}}...d{{x}^{2f}}</math>
im Phasenraum ist unter dem Fluß invariant:

:<math>d{{x}^{1}}...d{{x}^{2f}}=Det(D\Phi )d{{x}_{0}}^{1}....d{{x}_{0}}^{2f}=d{{x}_{0}}^{1}....d{{x}_{0}}^{2f}</math>

Whoa, things just got a whole lot eiaser.

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