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Der harmonische Oszillator

2011-07-02T15:14:48Z

173.236.49.6: /* Zusammenhang mit der Ortsdarstellung */

<noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|2|6}}</noinclude>

Anwendungsbeispiel der abstrakten Darstellung im Hilbertraum: der eindimensionale harmonische Oszillator

:<math>\hat{H}=\frac{{{{\hat{p}}}^{2}}}{2m}+\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{\hat{x}}^{2}}</math>

Als Hamiltonoperator

Es gilt die Vertauschungsrelation

:<math>\left[ \hat{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i}</math>

Besser:

:<math>\left[ {{{\hat{p}}}_{l}},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}{{\delta }_{kl}}</math>

Definition eines Operators, des Leiteroperators (nicht hermitesch!!)

:<math>\begin{align}

& a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\

& {{a}^{+}}:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}+i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\

& \Rightarrow a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right] \\

& \left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i} \\

& \Rightarrow a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{\hbar \omega }\hat{H}+\frac{1}{2} \\

\end{align}</math>

Merke:

Ausgangspunkt unserer ganzen Überlegungen ist eine Definition, nämlich die Definitiond er Leiteroperatoren:

:<math>\begin{align}

& a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\

& {{a}^{+}}:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}+i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\

\end{align}</math>

Ebenso:

:<math>\begin{align}

& {{a}^{+}}a=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right] \\

& \left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i} \\

& \Rightarrow {{a}^{+}}a=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{1}{2}=\frac{1}{\hbar \omega }\hat{H}-\frac{1}{2} \\

& \\

& \Rightarrow \left[ a,{{a}^{+}} \right]=1 \\

& a{{a}^{+}}+{{a}^{+}}a=\frac{2}{\hbar \omega }\hat{H} \\

\end{align}</math>

Somit:

:<math>\hat{H}=\frac{1}{2}\hbar \omega \left( a{{a}^{+}}+{{a}^{+}}a \right)=\frac{1}{2}\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+1+{{a}^{+}}a \right)=\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+\frac{1}{2} \right)</math>

Merke dazu:

:<math>a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{\hat{x}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{\hat{x}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]</math>

Somit:

:<math>\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]</math>

als verantwortlicher Term für die Grundzustandsenergie:

:<math>{{E}_{0}}=\frac{1}{2}\hbar \omega </math>

Also: Die Grundzustandsenergie folgt direkt aus der Unschärfe!

Weitere Vertauschungsrelationen:

:<math>\begin{align}

& \left( a{{a}^{+}} \right)a=\frac{1}{\hbar \omega }\hat{H}a+\frac{1}{2}a \\

& =a\left( {{a}^{+}}a \right)=\frac{1}{\hbar \omega }a\hat{H}-\frac{1}{2}a \\

& \Rightarrow \left[ a,\hat{H} \right]=a\hat{H}-\hat{H}a=\hbar \omega a \\

\end{align}</math>

Ebenso die adjungierteVersion:

:<math>-\left[ {{a}^{+}},\hat{H} \right]=\left( a\hat{H} \right)\acute{\ }*-\left( \hat{H}a \right)*=\hbar \omega {{a}^{+}}</math>

Well mcaadmaia nuts, how about that.

=====Eigenwerte von H=====
Sei <math>\left| E \right\rangle </math>

ein normierter Eigenvektor von <math>\hat{H}</math>

mit <math>\hat{H}\left| E \right\rangle =E\left| E \right\rangle </math>

So gilt:

:<math>\begin{align}

& \hbar \omega \left\langle E \right|{{a}^{+}}a\left| E \right\rangle =\left\langle E \right|\hat{H}-\frac{\hbar \omega }{2}\left| E \right\rangle =\left\langle E \right|E-\frac{\hbar \omega }{2}\left| E \right\rangle =E-\frac{\hbar \omega }{2} \\

& \left\langle E \right|{{a}^{+}}a\left| E \right\rangle =\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle \ge 0 \\

\end{align}</math>

Das bedeutet:

:<math>\begin{align}

& E\ge \frac{\hbar \omega }{2} \\

& E\ge \frac{\hbar \omega }{2}\Leftrightarrow a\left| E \right\rangle =0 \\

\end{align}</math>

Das Energiespektrum ist also nach unten beschränkt und gleichzeitig vernichtet der Absteigeoperator den Zustand mit der niedrigsten Energie

'''Behauptung'''

:<math>a\left| E \right\rangle </math>

ist Eigenzustand zu <math>\hat{H}</math>

mit dem Eigenwert <math>E-\hbar \omega </math>

:

Also: <math>\hat{H}a\left| E \right\rangle =\left( E-\hbar \omega \right)a\left| E \right\rangle </math>

'''Beweis:'''

:<math>\hat{H}a\left| E \right\rangle =\left( a\hat{H}-\hbar \omega \right)a\left| E \right\rangle =a\left( \hat{H}-\hbar \omega \right)\left| E \right\rangle =a\left( E-\hbar \omega \right)\left| E \right\rangle =\left( E-\hbar \omega \right)a\left| E \right\rangle </math>

Dabei gilt

:<math>\hat{H}a\left| E \right\rangle =\left( a\hat{H}-\hbar \omega \right)a\left| E \right\rangle </math>

wegen

:<math>\left[ a,\hat{H} \right]=\hbar \omega a</math>

Durch wiederholte Anwendung könnte man Eigenzustände <math>\left| E \right\rangle \ne 0</math>

mit beliebig tiefer Energie erzeugen, wenn nicht <math>E\ge \frac{\hbar \omega }{2}</math>

gelten würde.

Daher existiert ein <math>m\in N</math>

so dass <math>{{a}^{m}}\left| E \right\rangle =0</math>

aber <math>{{a}^{m-1}}\left| E \right\rangle \ne 0</math>

Also definiere man einen Grundzustand:

:<math>\left| 0 \right\rangle :={{a}^{m-1}}\left| E \right\rangle </math>

Vorsicht! Dieser ist gerade nicht ein NULL- KET,

sondern: Der Zustand zur Quantenzahl n=0

:<math>\hat{H}\left| 0 \right\rangle =\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+\frac{1}{2} \right)\left| 0 \right\rangle =\frac{1}{2}\hbar \omega \left| 0 \right\rangle </math>

wegen

:<math>a\left| 0 \right\rangle ={{a}^{m}}\left| E \right\rangle =0</math>

Also:

:<math>\begin{align}

& {{E}_{0}}=\frac{\hbar \omega }{2} \\

& a\left| 0 \right\rangle ={{a}^{m}}\left| E \right\rangle =0 \\

\end{align}</math>

Weiter:

:<math>\hat{H}{{a}^{+}}\left| 0 \right\rangle =\left( {{a}^{+}}H+\hbar \omega {{a}^{+}} \right)\left| 0 \right\rangle ={{a}^{+}}\left( \hat{H}+\hbar \omega \right)\left| 0 \right\rangle ={{a}^{+}}\left( \frac{\hbar \omega }{2}+\hbar \omega \right)\left| 0 \right\rangle =\frac{3\hbar \omega }{2}{{a}^{+}}\left| 0 \right\rangle </math>

Der erste Schritt gilt wieder wegen der Vertauschungsrelation

:<math>\left[ {{a}^{+}},\hat{H} \right]=-\hbar \omega {{a}^{+}}</math>

Das heißt nun aber, dass <math>{{a}^{+}}\left| 0 \right\rangle </math>

der Eigenzustand von <math>\hat{H}</math>

zum Eigenwert <math>\frac{3\hbar \omega }{2}</math>

ist.

'''Vollständige Induktion'''

:<math>\hat{H}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle </math>

Dann:

:<math>\begin{align}

& \hat{H}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}\left| 0 \right\rangle =\left( {{a}^{+}}\hat{H}+\hbar \omega {{a}^{+}} \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle ={{a}^{+}}\left( \hat{H}+\hbar \omega \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle \\

& \left( \hat{H}+\hbar \omega \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\left( \hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)+\hbar \omega \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle \\

& \Rightarrow \hat{H}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}\left| 0 \right\rangle ={{a}^{+}}\left( \hat{H}+\hbar \omega \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\hbar \omega \left( n+1+\frac{1}{2} \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}\left| 0 \right\rangle \\

\end{align}</math>

Do you have more great atrilces like this one?

=====Teilchenzahloperator=====
:<math>\begin{align}
& N:={{a}^{+}}a \\
& N\left| n \right\rangle ={{a}^{+}}a\left| n \right\rangle ={{a}^{+}}\sqrt{n}\left| n-1 \right\rangle =\sqrt{n}\sqrt{n}\left| n \right\rangle =n\left| n \right\rangle \\
\end{align}</math>

In Übereinstimmung mit
:<math>\hat{H}\left| n \right\rangle =\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+\frac{1}{2} \right)\left| n \right\rangle =\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)\left| n \right\rangle </math>

Hey, youre the goto expert. Thanks for hagnnig out here.

This has made my day. I wish all psontigs were this good.

Grundbegriffe der Mechanik

2011-07-01T17:48:18Z

173.236.49.6: /* 3. Newtonsches Axiom */

<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|0}}</noinclude>

= Theoretische Physik I: Mechanik =

'''Klassische Mechanik''' im Gegensatz von Relativität, Quantenmechanik und statistischer Mechanik :

: beschreibt die Bewegung von Körpern

: ist '''deterministisch''' (aus Anfangsbedingungen berechenbar)

: ist '''kausal''' (durch Kräfte verursacht)

Mechanik leistet

: einen Überblick über die physikalischen Grundbegriffe

: liefert das Paradigma einer physikalischen Theorie (als mathematisch- geometrische Struktur der Dynamik)

Die Mechanik soll nicht dargestellt sein als Mechanik von mechanischen Systemen aus Massepunkten mit Näherungen und Vernachlässigungen, die zu exakt lösbaren Problemen führen.

Mechanik soll heute den '''formalen''' Rahmen betonen

* Symmetrien und Invarianzprinzipien
* geometrische Strukturen
* Nichtlineare Theorie
* Grundlagen für andere Theorien

Die Mechanik soll verallgemeiner, '''kanonisch formuliert''' werden

* Lagrangeformalismus: Feldtheorien (E-Dynamik, Relativität)
* Hamiltonformalismus (Quantenmechanik und Statistische Mechanik)

= Inhalt der Vorlesung =

: Extremalprinzipien

:: Differenzialprinzip: d'Alembertsches Prinzip [[Das d'Alembertsche Prinzip|Kapitel 1]]

:: Integralprinzip: Hamiltonsches Prinzip [[Das Hamiltonsche Prinzip|Kapitel 2]]

: Hamiltonsche Gleichungen [[Symmetrien und Erhaltungsgrößen|Kapitel 3]],[[Der Hamiltonsche kanonische Formalismus|4]],[[Die Hamilton-Jacobi-Theorie|5]]

: Mechanik des starren Körpers [[Mechanik des starren Körpers|Kapitel 6]]

: Dynamische Systeme und deterministisches Chaos [[Dynamische Systeme und deterministisches Chaos|Kapitel 7]]

=Grundbegriffe=
__TOC__
Kinematik und Dynamik von Systemen von Massepunkten ohne Zwangsbedingungen: Newtonsche Mechanik

'''Axiome Newtons'''

# kräftefrei = geradlinig und gleichförmig Bewegung
# Beschleunigung: <math>\vec{a}=\frac{d}{dt}\vec{v}\propto \vec{F}</math>
# actio = reactio
# lineares Superpositionsprinzip (lineare Superposition von Kräften)

'''Bemerkungen'''

Körper = Massepunkt (empirisch motiviert)

Kraft = mechanische Auswirkung einer nicht näher zu spezifizierenden Wechselwirkung (Gravitation, schwach, elektromagnetisch, stark)

Theorie der Kraft ist Feldtheorie und damit nicht Gegenstand der Mechanik

Erledigt: Edynamik. Ziel: GUT

Die Definition von geradlinig und gleichförmig ist operativ. Geradlinig bestimmt den starren Maßstab und gleichförmig die absolute zeit.(Uhr).

Dadurch werden Struktur von Raum und Zeit bestimmt.

Experimentell zeigte sich:

: Der Raum ist homogen und isotrop (3dimensioal und euklidisch)

: Zeit ist universell (unendlich schnelle Signalgeschwindigkeit)

Ereignis:

Dynamische Variable:
:<math>\vec{r}(t)</math>
ist Bahnkurve,
:<math>\vec{v}(t):=\frac{d}{dt}\vec{r}(t)=\dot{\vec{r}}</math>
ist Tangentialvektor

==== 1. Newtonsches Axiom ====
existiert ein '''Inertialsystem''' (operativ durch kräftefreie Bewegung definiert).

Galilei- Transformation leistet die generelle Trafo zwischen 2 Inertialsystemen. [[Datei:CoordinateTranslation.png|miniatur|Zwei Koordinatensysteme]]

Bewege sich ein gestrichenes System mit vo nach rechts und lagen die Ursprünge zur Zeit t aufeinander, so gilt für die allgemeine Trafo zwischen 2 Inertialsystemen:
:<math>\{K,t\}\to \{K\acute{\ },t\acute{\ }\}</math>

:<math>\begin{align}
& \vec{r}(t)=\vec{r}\acute{\ }(t)+{{{\vec{v}}}_{o}}(t)\cdot t+{{{\vec{s}}}_{o}} \\
& t\acute{\ }=t \\
\end{align}</math>

Dabei bezeichnet
:<math>{{\vec{s}}_{o}}</math>
den Koordinatenursprung des ungestrichenen Systems.

Sind die Koordinatensysteme gleichzeitig noch gegeneinander verdreht, so gilt:

:<math>\begin{align}
& \vec{r}(t)=\overline{\overline{R}}\vec{r}\acute{\ }(t)+{{{\vec{v}}}_{o}}(t)\cdot t+{{{\vec{s}}}_{o}} \\
& t\acute{\ }=t \\
\end{align}</math> wobei <math>\overline{\overline{R}}</math>
die Drehmatrix bezeichnet.

Gegen diese Form der Transformation ist die Newtonsche Mechanik forminvariant: '''Galilei- Invarianz'''

==== 2. Newtonsches Axiom ====

:<math>\vec{a}=\frac{d}{dt}\vec{v}\propto \vec{F}</math>,
dabei existiert ein skalarer Faktor m, die träge Masse

man gewinnt die Bewegungsgleichung:

:<math>\vec{F}(\vec{r},\frac{d}{dt}\vec{r})=m\frac{{{d}^{2}}}{{{(dt)}^{2}}}\vec{r}</math>

Dies ergibt 3 gekoppelte, nichtlineare Differenzialgleichungen

Es existiert jedoch eine eindeutige Lösung zu den Anfangsbedintgungen
:<math>({{t}_{o}},{{\vec{r}}_{o}}):\vec{r}(t;{{\vec{r}}_{o}},{{t}_{o}})</math>

Diese Lösung heißt Bahn oder auch Trajektorie oder Orbit.

Dude, right on there btroher.

==== 4. Vektorcharakter der Kraft ====

Kräfte haben Vektorcharakter. Damit sind sie superpositionierbar.

Kräfte entsprechen Feldern. Die entstehenden Theorien sind damit dann lineare Feldtheorien.

Jedoch ist die Bewegungsgleichung
:<math>\vec{F}(\vec{r},\frac{d}{dt}\vec{r})=m\frac{{{d}^{2}}}{{{(dt)}^{2}}}\vec{r}</math> im Allgemeinen nichtlinear (im Ort, in der Bahnkurve r)

Die einzige Ausnahme bildet der harmonische Oszillator

:<math>\vec{F}(\vec{r},\frac{d}{dt}\vec{r})\propto \vec{r}</math>

==== Das Newtonsche Gravitationsgesetz (empirisch) ====

:<math>{{\vec{F}}^{(12)}}=-\gamma {{m}_{s}}^{(1)}{{m}_{s}}^{(2)}\frac{{{{\vec{r}}}^{(1)}}-{{{\vec{r}}}^{(2)}}}{{{\left| {{{\vec{r}}}^{(1)}}-{{{\vec{r}}}^{(2)}} \right|}^{3}}}</math>

Dabei ist die schwere Masse stets größer Null und gleich der trägen Masse (alle Körper fallen gleich schnell).

Die schwere Masse ist Maß für die Kopplungsstärke der gravitativen Wechselwirkung. Die Träge Masse ist Maß für die Fähigkeit eines Körpers, sich dem Einfluss einer Kraft zu widersetzen, also maß für die Kopplungsstärke der Bewegung mit der wirkenden Kraft. Dass schwere und träge Masse gleich sind ist nur experimentelle Erfahrung

Wählt man schwere und träge Masse gleich

:<math>{{m}_{t}}^{(1)}={{m}_{s}}^{(1)}\to \gamma =6,67\cdot {{10}^{-11}}\frac{{{m}^{3}}}{kg\cdot {{s}^{2}}}</math>
[[Kategorie:Vorlesungsstartseite]]
<noinclude>
__SHOWFACTBOX__
==Prüfungsfragen==
===Knorr===
Wie lauten die Newtonschen Gleichungen?

Potential: Wie ist konservative Kraft definiert?
</noinclude>

Stabilität und Langzeitverhalten

2011-07-01T16:08:49Z

173.236.133.45: /* Beispiel fÃ¼r ein dissipatives System: LORENZMODELL (1963) */

<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|7|2}}</noinclude>

Hier soll eine allgemeinere Definition von Stabilität gegeben werden.

'''Fixpunkte '''
:<math>\bar{x}*</math>
'''des autonomen dynamischen Systems '''

'''Definition:'''

:<math>\bar{x}*</math>
heißt stabil (auch : Ljapunov- stabil), wenn zu jeder Umgebung U von
:<math>\bar{x}*</math>
eine Umgebung V von
:<math>\bar{x}*</math>
existiert, so dass:

:<math>\bar{x}\in V\Rightarrow \varphi (\bar{x},t)\in U\quad \forall t\ge 0</math>

'''Definition:'''

:<math>\bar{x}*</math>
heißt asymptotisch stabil (auch : Ljapunov- stabil), wenn zu
:<math>\bar{x}*</math>
eine Umgebung U und eine Umgebung U´ von
:<math>\bar{x}*</math>
existiert, so dass:

:<math>\varphi (U,{{t}_{2}})\in U\acute{\ }\subset \varphi (U,{{t}_{1}})\in U\quad f\ddot{u}r\ {{t}_{2}}>{{t}_{1}}\ge 0</math> und <math>\begin{matrix}
\lim \\
t\to \infty \\
\end{matrix}\varphi (\bar{x},t)=\bar{x}*\quad \forall \bar{x}\in U</math>

Das heißt anschaulich: Die Umgebung U schrumpft mit wachsendem t auf
:<math>\bar{x}*</math>
zusammen. Das heißt: Phasenraumvolumina schrumpfen.

asymptotisch stabile Fixpunkte treten somit nur in nicht hamiltonschen Systemen (also bei nicht alleine konservativen Kräften) auf. (Vergl. Kapitel 4.5: Satz von Liouville)

'''Def.: '''Ein dynamisches System heißt dissipativ, wenn Phasenraumvolumina schrumpfen.

'''Lokales Kriterium für Stabilität'''

Wenn
:<math>\bar{x}*</math>
stabil ist, dann hat keiner der Eigenwerte der Jacobimatrix
:<math>{{(DF)}_{\bar{x}*}}</math>
einen positiven Realteil

'''Beispiel: '''Fixpunkt a) des Pendels mit / ohne Reibung, also der Fixpunkt mit Winkel und Ort =0, x1=x2=0

'''Hinreichende Bedingung für asymptotische Stabilität:'''

Alle Eigenwerte haben negative Realteile

Somit wird die Lösung für die Störung für unendliche Zeit beliebig klein und divergiert nicht. Imaginärteile sind oszillierend und damit irrelevant für die Stabilität. Sie geben an, in welcher Zeit die Annäherung an den Fixpunkt (falls vorhanden) erfolgt.

'''Beispiel für Instabilität: Fixpunkte b)'''

'''Allgemeines System mit n=2:'''

'''Linearisierung'''

:<math>\begin{align}
& \left( \begin{matrix}
\delta {{{\dot{x}}}_{1}} \\
\delta {{{\dot{x}}}_{2}} \\
\end{matrix} \right)=A\left( \begin{matrix}
\delta {{x}_{1}} \\
\delta {{x}_{2}} \\
\end{matrix} \right) \\
& \left( \begin{matrix}
{{a}_{11}} & {{a}_{12}} \\
{{a}_{21}} & {{a}_{22}} \\
\end{matrix} \right):=A \\
\end{align}</math>

Eigenwertgleichung:
:<math>\det (A-\lambda 1)=0\Rightarrow \left| \left( \begin{matrix}
{{a}_{11}}-\lambda & {{a}_{12}} \\
{{a}_{21}} & {{a}_{22}}-\lambda \\
\end{matrix} \right) \right|=\left( {{a}_{11}}-\lambda \right)\left( {{a}_{22}}-\lambda \right)-{{a}_{12}}{{a}_{21}}={{\lambda }^{2}}-\lambda \mathbf{t}rA+\det A=0</math>

Somit:
:<math>{{\lambda }_{1/2}}=\frac{1}{2}\left( trA\pm \sqrt{{{\left( trA \right)}^{2}}-4\det A} \right)</math> mit <math>trA=\sum\limits_{i}{\frac{\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{i}}}=div\bar{F}}</math>

'''Fallunterscheidung'''

====Stabiler Fokus (Strudelpunkt)====

'''detA>0'''

'''trA<0'''

:<math>{{\left( trA \right)}^{2}}<4\det A</math>

:<math>\begin{align}
& {{\lambda }_{1/2}}=-{{\lambda }_{0}}\pm i\omega \\
& {{\lambda }_{0}},\omega >0 \\
\end{align}</math>

Dies ist eine gedämpfte Schwingung im Phasenraum. Die Phasenraumkruve ist eine elliptische Spirale:

====Instabiler Fokus====

'''detA>0'''

'''trA>0'''

:<math>{{\left( trA \right)}^{2}}<4\det A</math>

:<math>\begin{align}
& {{\lambda }_{1/2}}=+{{\lambda }_{0}}\pm i\omega \\
& {{\lambda }_{0}},\omega >0 \\
\end{align}</math>

Dies ist eine entdämpfte Schwingung. Die Phasenraumkurve ist ebenfalls eine elliptische Spirale, die jedoch in positiver Zeitrichtung nach Außen durchlaufen wird. Damit tr A >0 muss dem System von Außen zugeführt werden (Beispiel: "negative Reibung"):

====Stabiler Knoten====

'''detA>0'''

'''trA<0'''

:<math>{{\left( trA \right)}^{2}}>4\det A</math>

:<math>\begin{align}
& {{\lambda }_{1/2}}<0 \\
& {{\lambda }_{1/2}}\in R \\
\end{align}</math>

Dies ist ein exponenzieller Zerfall. Fast alle Trajektorien nähern sich dabei entlang des Eigenvektors, der zum betragsmäßig kleineren Eigenwert gehört. Weil hier das "Kriechen" zum Fixpunkt, also der Zerfall langsamer stattfindet:

====Instabiler Knoten====

'''detA>0'''

'''trA>0'''

:<math>{{\left( trA \right)}^{2}}>4\det A</math>

:<math>\begin{align}
& {{\lambda }_{1/2}}>0 \\
& {{\lambda }_{1/2}}\in R \\
\end{align}</math>

Das System ist exponenziell entdämpft.

====Sattelpunkt====

'''detA>0'''

:<math>\begin{align}
& {{\lambda }_{1}}>0 \\
& {{\lambda }_{2}}<0 \\
& {{\lambda }_{1/2}}\in R \\
\end{align}</math>

====Summary:====

'''Grenze zwischen den 5 Bereichen: '''entartete Fälle:

* in diesem Fall versagt die lineare Stabilitätsanalyse völlig. Es ist nötig, höhere Terme der Taylorentwicklung um den Fixpunkt zu betrachten.

Beispiel:

'''trA=0'''

'''detA>0'''

:<math>\begin{align}
& {{\lambda }_{1/2}}=\pm i\omega \\
& {{\lambda }_{1/2}}\in I \\
\end{align}</math>
Dies kann ZENTRUM sein, also der Mittelpunkt der Phasenraumtrajektorien, die ungedämpfte Schwingungen beschreiben (energieabhängige, aber unveränderliche Ellipsen).

Dieses Zentrum ist stabil, aber nicht asymptotisch stabil!

Vergleiche: ungedämpfter Oszillator.

Es kann sich aber auch um einen schwach stabilen oder instabilen Fokus handeln (der dann auch asymptotisch stabil ist)

* es sind in diesem Fall auch qualitative Änderungen im Verhalten des Flusses möglich (Bifurkationen = Verzweigungen der Lösungsmannigfaltigkeit)

'''Speziell: Hamiltonsche Vektorfelder:'''

:<math>\begin{align}
& \dot{\bar{x}}:=J{{{\bar{H}}}_{,x}} \\
& \Leftrightarrow {{{\dot{q}}}_{k}}=\frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}},{{{\dot{p}}}_{k}}=-\frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}} \\
\end{align}</math>

'''Linearisierung zum Fixpunkt '''
:<math>\bar{x}*</math>
:

:<math>\begin{align}
& \delta \bar{x}:=\bar{x}-\bar{x}* \\
& \delta \dot{\bar{x}}=A\delta \bar{x} \\
& mit:\ \delta {{{\dot{x}}}_{i}}=\sum\limits_{k=1}^{2f}{{{\left( \frac{\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}} \right)}_{x*}}\delta {{x}_{k}}=}\sum\limits_{k,j=1}^{2f}{\left( {{J}_{ij}}\frac{{{\partial }^{2}}H}{\partial {{x}_{k}}\partial {{x}_{j}}} \right)\delta {{x}_{k}}} \\
& \sum\limits_{j=1}^{2f}{{}}\left( {{J}_{ij}}\frac{{{\partial }^{2}}H}{\partial {{x}_{k}}\partial {{x}_{j}}} \right)={{A}_{ik}} \\
\end{align}</math>

:<math>\begin{align}
& trA=div\bar{F}=\sum\limits_{k=1}^{f}{\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}-\frac{\partial }{\partial {{p}_{k}}}\frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}} \right)=}0 \\
& trA=0=\sum\limits_{i=1}^{2f}{{{\lambda }_{i}}} \\
\end{align}</math>

====Möglichkeit zur asymptotischen Stabilität====

Wegen trA=0 folgt '''Keine asymptotische Stabilität '''möglich.

'''Beweis: '''Asymptotische Stabilität nur, wenn alle
:<math>\begin{align}
& \operatorname{Re}{{\lambda }_{i}}<0 \\
& \Rightarrow trA=\sum\limits_{i}{\operatorname{Re}{{\lambda }_{i}}}+\sum\limits_{i}{\operatorname{Im}{{\lambda }_{i}}} \\
\end{align}</math>

aber:
:<math>\sum\limits_{i}{\operatorname{Im}{{\lambda }_{i}}}</math>
besteht aus komplex konjugierten Paaren, da die Eigenwertgleichung reell ist!

Somit gilt jedoch
:<math>trA=\sum\limits_{i}{\operatorname{Re}{{\lambda }_{i}}}<0</math>,
was ein Widerspruch zur Voraussetzung für asymptotische Stabilität, mit trA=0

====Nicht asymptotisch Stabilität====

'''Nicht asymptotische Stabilität nur wenn '''
:<math>\operatorname{Re}{{\lambda }_{i}}\le 0</math>,
also kein
:<math>\operatorname{Re}{{\lambda }_{i}}>0</math>

Aus genannten Gründen kann dann aber nur
:<math>\operatorname{Re}{{\lambda }_{i}}=0\quad \forall i</math>

Also:
:<math>{{\lambda }_{i}}=\pm i{{\omega }_{i}}</math>

Also: Zentrum, reine Oszillationen, keine Dämpfung oder Unterdämpfung

'''Fall f=1 → n=2'''

In diesem Fall können die Fixpunkte nur Zentren (falls det A > 0 →
:<math>{{\lambda }_{i}}=\pm i{{\omega }_{i}}</math>)
oder Sattelpunkte

(falls detA <0 →
:<math>{{\lambda }_{1}}>0,{{\lambda }_{2}}<0,{{\lambda }_{i}}\in R</math>)
sein!

====Beispiel zur Stabilität====

Touchdown! That's a rlaley cool way of putting it!

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