Räumliche Translationsinvarianz

2011-07-02T09:17:24Z

165.139.190.15: /* Beispiel: 2 Teilchen mit innerer Paarwechselwirkung */

<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|3|2}}</noinclude>
Seien die Kräfte konservativ und seien keine Randbedingungen:

:<math>L=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}^{2}-V({{{\bar{r}}}_{1}},...,{{{\bar{r}}}_{N}})}</math>

Eine Translation in Richtung x ist damit eine Translation der Form:

:<math>{{h}^{s}}:{{\bar{r}}_{i}}{{\to }_{{}}}{{\bar{r}}_{i}}+s{{\bar{e}}_{x}}\quad i=1,..,N</math>

Der Parameter s ist dabei beliebig.

Die Translationsinvarianz entlang der x- Achse bewirkt nun:

:<math>\begin{align}
& L({{h}^{s}}({{{\bar{r}}}_{i}}),{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}})=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}^{2}-V({{{\bar{r}}}_{1}}+s{{{\bar{e}}}_{x}},...,{{{\bar{r}}}_{N}}+s{{{\bar{e}}}_{x}})}=L({{{\bar{r}}}_{i}},{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}})\ Forderung! \\
& \frac{dL}{ds}=-\sum\limits_{i=1}^{N}{\left( {{\nabla }_{ri}}\cdot {{{\bar{e}}}_{x}} \right)}V=-\sum\limits_{i=1}^{N}{\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}}V=0\quad Forderung! \\
\end{align}</math>

Das bedeutet aber: es darf keine äußere Kraft in x- Richtung geben!

Für die Transformation gilt:

:<math>{{h}^{s}}({{\bar{r}}_{i}})={{\bar{r}}_{i}}+s{{\bar{e}}_{x}}\quad i=1,..,N</math>

:<math>{{h}^{s=0}}({{\bar{r}}_{i}})={{\bar{r}}_{i}}</math>
(Identität)

:<math>\frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{\bar{r}}_{i}})={{\bar{e}}_{x}}</math>

Für unser Integral der Bewegung gilt jedoch:

:<math>I=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\nabla }_{\dot{r}i}}L\frac{d{{h}^{s}}}{ds}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}}}\cdot {{\bar{e}}_{x}}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{x}}}_{i}}}={{P}_{x}}</math>

Fazit: die Translationsinvarianz in x- Richtung bestimmt die Erhaltung der x-Komponente des Gesamtimpulses.

Dieser Zusammenhang ist leicht für die anderen Komponenten zu zeigen.

'''Dies kann auch umgekehrt betrachtet werden:'''

Wähle q1=s als verallgemeinerte Koordinate:

Nun gilt die Transformation:

:<math>{{\bar{r}}_{i}}={{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)={{q}_{1}}{{\bar{e}}_{x}}+\Delta {{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)</math> mit <math>{{q}_{1}}{{\bar{e}}_{x}}</math>
als Schwerpunktskoordinate und

:<math>\Delta {{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)</math>
als Relativpositionen.

Es folgt:

:<math>\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{\bar{r}}_{i}}={{\bar{e}}_{x}}</math>

:<math>\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{\dot{\bar{r}}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{\bar{r}}_{i}}={{\bar{e}}_{x}}</math> wegen <math>{{\dot{\bar{r}}}_{i}}=\sum\limits_{k}^{{}}{{}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}{{\bar{r}}_{i}}{{\dot{q}}_{k}}+\frac{\partial }{\partial t}{{\bar{r}}_{i}}</math>

<u>'''Invarianz Erhaltungssatz'''</u>

:<math>{{\frac{\partial L}{\partial {{q}_{1}}}}_{{}}}=0\Leftrightarrow \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=0</math>
äquivalent zum Erhaltungssatz
:<math>\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=const</math>

Allgemein heißt
:<math>\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}={{p}_{j}}</math>
der zur Koordinate qj konjugierte verallgemeinerte Impuls.

Falls gilt dass
:<math>{{\frac{\partial L}{\partial {{q}_{1}}}}_{{}}}=0\Leftrightarrow \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=0</math>,
wenn also die Lagrangefunktion invariant gegen q1- Änderungen ist, dann nennt man q1 eine '''zyklische '''Koordinate. der zu q1 konjugierte Impuls ist in diesem Fall eine '''Erhaltungsgröße '''.

Hier:

:<math>\begin{align}
& {{p}_{1}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}(T-V)=\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}\left( \sum\limits_{i}{\frac{1}{2}{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}^{2}} \right)=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}} \\
& mit\quad \frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}={{{\bar{e}}}_{x}} \\
& {{p}_{1}}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}{{{\bar{e}}}_{x}}}={{P}_{x}} \\
\end{align}</math>

At last! Somoene who understands! Thanks for posting!

BovdhS <a href="http://tnxeigjwwmpq.com/">tnxeigjwwmpq</a>

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