Master Gleichung

2009-09-08T10:31:49Z

130.149.215.223: /* System Dichteoperator */

Betrachtung eines mikr. Hamiltonoperators <math>H={{H}_{S}}+{{H}_{B}}+{{H}_{I}}</math> bestehend aus
* System <math>H_S</math>
* Umgebung <math>H_B</math>
* WW <math>H_I</math>

Die Umgebung setzt sich aus einem Reservoir
* links <math>{}^{L}{{H}_{B}}=\sum\limits_{k}{{}^{L}{{\varepsilon }_{k}}{}^{L}{{N}_{k}}}</math>
* und rechts <math>{}^{R}{{H}_{B}}=\sum\limits_{k}{{}^{R}{{\varepsilon }_{k}}{}^{R}{{N}_{k}}}</math> zuammen mit <math>{}^{X}{{N}_{k}}={}^{X}a_{k}^{+}{}^{X}{{a}_{k}}</math>

Wechselwirkung besteht aus 4 Teilen <math>{{H}_{I}}={}_{S}^{L}{{H}_{I}}+{}_{S}^{R}{{H}_{I}}+{}_{L}^{S}{{H}_{I}}+{}_{R}^{S}{{H}_{I}}</math>
* Von Links ins System <math>{}_{S}^{L}{{H}_{I}}</math>
* Vor Rechts ins System <math>{}_{S}^{R}{{H}_{I}}</math>
* Vom System nach Links <math>{}_{L}^{S}{{H}_{I}}</math>
* Vom System nach Rechts <math>{}_{R}^{S}{{H}_{I}}</math>
mit
<math>{}_{S}^{X}{{H}_{I}}=\sum\limits_{k,i}{{}^{X}{{V}_{k}}^{X}a_{k}^{\dagger }{{e}_{i}}}</math>
und
<math>{}_{X}^{S}{{H}_{I}}=\sum\limits_{k,i}{{}^{X}{{V}_{k}}^{X}{{a}_{k}}e_{i}^{\dagger }}</math>

<math>{{e}_{i}}</math> erzeugt ein Electron im System mit Energieniveau i.
<math>e_{i}^{\dagger }</math> vernichtet ...

==Transformation ins WW-Bild==
Operator ins WWBild

<math>\tilde{A}\left( t \right):=U_{0}^{\dagger }A{{U}_{0}}</math>
mit <math>{{U}_{0}}=\exp \left( -\mathfrak{i}{{H}_{0}}t \right)</math>
und <math>{{H}_{0}}={{H}_{S}}+{{H}_{B}}</math>

Starte von [[Liouville-von-Neumann-Gleichung]]
<math>
\dot \rho = - \mathfrak{i} \left[ {H,\rho } \right]</math>

mit der Lösung

<math>\rho \left( t \right)={{U}^{\dagger }}{{\rho }_{0}}U</math>

mit <math>U=\exp \left( -\mathfrak{i}Ht \right)</math>

Beweis

<math>{{\partial }_{t}}U=-\mathfrak{i}HU</math>

sowie

<math>{{\partial }_{t}}{{U}^{\dagger }}=\mathfrak{i}HU</math>

Dann ist
<math>{{d}_{t}}\rho =\underbrace{-\mathfrak{i}HU{{\rho }_{0}}{{U}^{\dagger }}+U{{\rho }_{0}}\mathfrak{i}H{{U}^{\dagger }}}_{-\mathfrak{i}\left[ H,\rho \right]}+\underbrace{U\left( {{\partial }_{t}}{{\rho }_{0}} \right){{U}^{\dagger }}}_{0}</math>

beweis ende

lösung ende

Die LVN-Gln wird zu

<math>\begin{align}
& {{d}_{t}}\tilde{\rho }={{d}_{t}}\left( U_{0}^{\dagger }\rho {{U}_{0}} \right) \\
& =\mathfrak{i}{{H}_{0}}U_{0}^{\dagger }\rho {{U}_{0}}-iU_{0}^{\dagger }\rho {{H}_{0}}{{U}_{0}}+U_{0}^{\dagger }{{d}_{t}}\left( \rho \right){{U}_{0}} \\
& =\mathfrak{i}\left[ {{H}_{0}},\tilde{\rho } \right]-\mathfrak{i}U_{0}^{\dagger }\left[ H,\rho \right]{{U}_{0}} \\
& =\mathfrak{i}\left[ {{H}_{0}},\tilde{\rho } \right]-\mathfrak{i}U_{0}^{\dagger }\left[ {{H}_{0}}+{{H}_{I}},\rho \right]{{U}_{0}} \\
& =\mathfrak{i}\left[ {{H}_{0}},\tilde{\rho } \right]-\mathfrak{i}\left[ {{H}_{0}},\tilde{\rho } \right]-\mathfrak{i}U_{0}^{\dagger }\left[ {{H}_{I}},\rho \right]{{U}_{0}} \\
& =-\mathfrak{i}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\tilde{\rho } \right] \\
\end{align}</math>
===Lösung===
Integrieren
<math>\tilde{\rho}=\rho_0 - \mathfrak{i} \int_0^t [\tilde{H_I},\tilde{\rho}]\,dt'</math>
auf rechter Seite einsetzen

<math>\begin{align}
& {{d}_{t}}\tilde{\rho }=-\mathfrak{i}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}}-\mathfrak{i}\int_{0}^{t}{[{{{\tilde{H}}}_{I}},\tilde{\rho }]}\,d{t}' \right] \\
& =-\mathfrak{i}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}} \right]-\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\int_{0}^{t}{[{{{\tilde{H}}}_{I}},\tilde{\rho }]}\,d{t}' \right] \\
& =-\mathfrak{i}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}} \right]-\int_{0}^{t}{\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\,\tilde{\rho } \right] \right]}d{t}'
\end{align}</math>
==System Dichteoperator==
Der Dichteoperator des Systems ist die Spur über das Bad

<math>{{\rho }_{B}}={{\operatorname{Tr}}_{B}}\left[ \rho \right]</math>

<math>{{{\tilde{\rho }}}_{B}}=U_{S}^{\dagger }{{\rho }_{B}}{{U}_{S}}</math>

<math>{{U}_{S}}=\exp \left( -\mathsf{\mathfrak{i}}{{H}_{S}}t \right)</math>

Master Gleichung

2009-09-08T09:37:15Z

130.149.215.223: /* Lösung */

testwiki - User contributions [en]

Master Gleichung

Master Gleichung