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Wirkungs- und Winkelvariable

2011-07-02T01:26:26Z

122.248.251.37: /* Satz Ã¼ber integrable Systeme */

<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|5|2}}</noinclude>

Nun betrachten wir eine Modifikation des Hamilton- Jacobi- Verfahrens. Dabei geht es speziell um periodische Systeme. Das Ganze soll an einem Beispiel skizziert werden und erst dann Verallgemeinerung finden.

Klassifikation von periodischem Verhalten:

* geschlossene Phasenraumkurvn welcher Art auch immer sind Librationen. Diese sind beispielsweise Schwingungen.
* dabei gilt:

:<math>\begin{align}
& q(t+\tau )=q(t) \\
& p(t+\tau )=p(t) \\
\end{align}</math>

* periodische (hinsichtlich des Ortes), aber nicht geschlossene Phasenraumkurven, also Phasenraumkurven, die selbst entlang des Ortes im Impuls schwingen (dies sind nicht Schwingungen im ortsraum!) sind Rotationen. Die Phasenbahnen sind offen und es gilt:
*
:<math>\begin{align}
& q(t+\tau )=q(t)+{{q}_{0}} \\
& p(t+\tau )=p(t) \\
\end{align}</math>

* Beispiel für eine Rotation ist die Drehung einer Achse:
:<math>\begin{align}
& q(t)=\phi \\
& {{q}_{0}}=2\pi \\
\end{align}</math>

====Beispiel: Das mathematische Pendel (mit beliebig großen Auslenkungen)====

'''f= 1, verallgemeinerte Koordinate: Winkel '''
:<math>\phi </math>.
, s=
:<math>\phi </math> l <math>\begin{align}
& T=\frac{1}{2}m{{l}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}} \\
& V=mgl(1-\cos \phi ) \\
\end{align}</math>

verallgemeinerter kanonischer Impuls:

:<math>\begin{align}
& {{p}_{\phi }}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi }}=\frac{\partial T}{\partial \dot{\phi }}=m{{l}^{2}}\dot{\phi } \\
& H(\phi ,{{p}_{{\dot{\phi }}}})=T+V=\frac{{{p}_{\phi }}^{2}}{2m{{l}^{2}}}+mgl(1-\cos \phi ) \\
\end{align}</math>
für ein konservatives System

Es folgen die Hamiltonschen Gleichungen:

:<math>\begin{align}
& \dot{\phi }=\frac{\partial H(\phi ,{{p}_{{\dot{\phi }}}})}{\partial {{p}_{\phi }}}=\frac{{{p}_{\phi }}}{m{{l}^{2}}} \\
& {{{\dot{p}}}_{\phi }}=-\frac{\partial H(\phi ,{{p}_{{\dot{\phi }}}})}{\partial \phi }=-mgl\sin \phi \\
\end{align}</math>

# Integral (Enrgieerhaltung): Phasenbahn

:<math>H(\phi ,{{p}_{{\dot{\phi }}}})=T+V=\frac{{{p}_{\phi }}^{2}}{2m{{l}^{2}}}+mgl(1-\cos \phi )=E=const.</math>

Für kleine Winkel gilt die bekannte Kleinwinkelnäherung:

:<math>\frac{{{p}_{\phi }}^{2}}{2m{{l}^{2}}}+mgl\frac{{{\phi }^{2}}}{2}=E=const.</math>
→ Ellipsen, wie vom harmon. Oszi bekannt.

Gleichgewichtslagen: Fixpunkte:
:<math>\begin{align}
& \dot{\phi }={{{\dot{p}}}_{\phi }}=0 \\
& {{p}_{\phi }}=0 \\
& \phi =n\pi ,n\in N \\
\end{align}</math>

#
:<math>E\le 2mgl</math>
Libration: Schwingung mit
:<math>\left| \phi \right|\le {{\phi }_{0}}</math>

#
:<math>E>2mgl</math>
Rotation: überschlagendes Pendel:
:<math>\phi </math>
unbeschränkt

Für E=2mgl haben wir den Spezialfall einer Kriechbahn (Separatrix zwischen a) und b):

'''Übergang zu neuen kanonischen Variablen (f=1)'''

:<math>\begin{align}
& \left( q,p \right)\to \left( \theta ,I \right) \\
& I(E):=\oint\limits_{{{\Gamma }_{E}}}{pdq} \\
\end{align}</math>

I(E) ist als Wirkungsvariable zu verstehen, als die Fläche, die von einer notwendigerweise geschlossenen Bahn
:<math>{{\Gamma }_{E}}</math>
zur Energie E im Phasenraum eingeschlossen ist. (= Phasenintegral).

:<math>\theta </math>
ist die Winkelvariable, auf Periode 1 normiert.

Gelegentlich findet sich:

:<math>\begin{align}
& \left( q,p \right)\to \left( \theta ,I \right) \\
& I(E):=\frac{1}{2\pi }\oint\limits_{{{\Gamma }_{E}}}{pdq} \\
\end{align}</math>

In diesem Fall ist
:<math>\theta </math> auf <math>2\pi </math>
normiert.

gesucht ist die zugehörige kanonische Transformation:

:<math>\begin{align}
& p=\frac{\partial W(q,I)}{\partial q} \\
& \theta =\frac{\partial W(q,I)}{\partial I} \\
\end{align}</math>

Mit der neuen Hamiltonfunktion:

:<math>H\left( q,\frac{\partial W(q,I)}{\partial q} \right)=E(I)</math>

Dies ist die Umkehrfunktion von I(E), existiert genau dann, wenn
:<math>\frac{dI}{dE}\ne 0</math>.

Da
:<math>\theta </math>
zyklisch ist muss I konstant sein.

Die Hamiltonsche Bewegungsgleichung für
:<math>\theta </math>
lautet:

:<math>\begin{align}
& \dot{\theta }=\frac{\partial E(I)}{\partial I}:={{\nu }_{I}}=const. \\
& \theta ={{\nu }_{I}}t+{{\theta }_{0}}\quad \bmod \quad 1 \\
& I=const \\
\end{align}</math>

Die Lösung für
:<math>\theta </math>
ist bei Normierung auf
:<math>2\pi </math>
natürlich modulo
:<math>2\pi </math>
zu verstehen.

Mit der Lösung jedoch ist für jedes E(I) die frequenz
:<math>{{\nu }_{I}}</math>
berechnet.

Das Phasenraumportrait ist der folgenden gestalt:

====Beispiel: eindimensionaler Oszillator====

:<math>H\left( q,p=\frac{\partial W(q,I)}{\partial q} \right)=\frac{{{p}^{2}}}{2m}+\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{q}^{2}}=E(I)</math>

'''Phasenbahn:'''

:<math>\frac{\partial W(q,I)}{\partial q}=p=\pm m\omega \sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}}}</math>

Umkehrpunkte:

:<math>{{q}_{\pm }}=\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}}</math>

'''Wirkungsvariable:'''

:<math>\begin{align}
& I(E)=\oint{pdq}=2m\omega \int\limits_{{{q}_{-}}}^{{{q}_{+}}}{{}}\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}}}dq \\
& I(E)=2m\omega \left[ \frac{q}{2}\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}}}+\frac{E}{m{{\omega }^{2}}}\arcsin \frac{q}{\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}}} \right]_{q+}^{q-}=\frac{2\pi }{\omega }E \\
\end{align}</math>

'''Transformierte Hamiltonfunktion:'''

:<math>\begin{align}
& \bar{H}=E=\frac{\omega }{2\pi }I \\
& \dot{\theta }=\frac{\partial E}{\partial I}=\frac{\omega }{2\pi }:={{\nu }_{I}} \\
\end{align}</math>

Die zeitliche Änderung des Winkels, also die Frequenz des harmonischen Oszillators ist völlig unabhängig von E(I)

'''Nebenbemerkungen:'''

1.
:<math>I=\frac{2\pi }{\omega }E=\tau E</math>
hat die Dimension Zeit* Energie, also Wirkung

#
:<math>\theta </math>
ist die Winkelvariable, die zur periodischen Bewegung im Phasenraum! gehört und hat überhaupt nichts mit dem Winkel im ortsraum (des Pendels Phi) zu tun

Allgemein: Perdiodische Bewegungen werden immer durch eine Winkelvariable parametrisiert.

* die periodische Bewegung wird damit auf die 1-Sphäre S1 (Kreis mit Radius 1) abgebildet.

'''Verallgemeinerung auf beliebiges f:'''

Eine Bewegung heißt periodisch bzw. quasiperiodisch, falls die Projektion der Phasenbahn (Trajektorie) auf jede (pj,qj)- Ebene periodisch mit Frequenz

:<math>{{\omega }_{j}}=\frac{2\pi }{{{\tau }_{j}}}</math>
ist. Jede Projektion also für gleiche Koordinaten in Ort und Impuls!

Falls:
:<math>{{\omega }_{1}}:{{\omega }_{2}}:{{\omega }_{3}}:...:{{\omega }_{f}}</math>
rational ist, so ist die Bahn geschlossen, also einfach periodisch.

Falls:
:<math>\exists i,j\to {{\omega }_{i}}:{{\omega }_{j}}</math>
irrational → offene Bahn (quasiperiodisch).

Parametrisierung erfolgt durch die Winkelvariable
:<math>{{\theta }_{j}}</math> zu <math>{{\omega }_{j}}</math>
:

Abbildung auf
:<math>{{S}^{1}}\times {{S}^{1}}\times {{S}^{1}}\times ...\times {{S}^{1}}=:{{T}^{f}}</math>
(f mal S1- Sphären- Räume), Abbildung auf den sogenannte f-Torus

Beispiel: 2Torus:

Ist das Frequenzverhältnis irrational, so wirkt der Torus nur als Phasenraumattraktor. Die Bahn füllt den gesamten Torus dicht aus!

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Stabilität und Langzeitverhalten

2011-07-01T17:18:54Z

122.248.137.28: /* Summary: */

<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|7|2}}</noinclude>

Hier soll eine allgemeinere Definition von Stabilität gegeben werden.

'''Fixpunkte '''
:<math>\bar{x}*</math>
'''des autonomen dynamischen Systems '''

'''Definition:'''

:<math>\bar{x}*</math>
heißt stabil (auch : Ljapunov- stabil), wenn zu jeder Umgebung U von
:<math>\bar{x}*</math>
eine Umgebung V von
:<math>\bar{x}*</math>
existiert, so dass:

:<math>\bar{x}\in V\Rightarrow \varphi (\bar{x},t)\in U\quad \forall t\ge 0</math>

'''Definition:'''

:<math>\bar{x}*</math>
heißt asymptotisch stabil (auch : Ljapunov- stabil), wenn zu
:<math>\bar{x}*</math>
eine Umgebung U und eine Umgebung U´ von
:<math>\bar{x}*</math>
existiert, so dass:

:<math>\varphi (U,{{t}_{2}})\in U\acute{\ }\subset \varphi (U,{{t}_{1}})\in U\quad f\ddot{u}r\ {{t}_{2}}>{{t}_{1}}\ge 0</math> und <math>\begin{matrix}
\lim \\
t\to \infty \\
\end{matrix}\varphi (\bar{x},t)=\bar{x}*\quad \forall \bar{x}\in U</math>

Das heißt anschaulich: Die Umgebung U schrumpft mit wachsendem t auf
:<math>\bar{x}*</math>
zusammen. Das heißt: Phasenraumvolumina schrumpfen.

asymptotisch stabile Fixpunkte treten somit nur in nicht hamiltonschen Systemen (also bei nicht alleine konservativen Kräften) auf. (Vergl. Kapitel 4.5: Satz von Liouville)

'''Def.: '''Ein dynamisches System heißt dissipativ, wenn Phasenraumvolumina schrumpfen.

'''Lokales Kriterium für Stabilität'''

Wenn
:<math>\bar{x}*</math>
stabil ist, dann hat keiner der Eigenwerte der Jacobimatrix
:<math>{{(DF)}_{\bar{x}*}}</math>
einen positiven Realteil

'''Beispiel: '''Fixpunkt a) des Pendels mit / ohne Reibung, also der Fixpunkt mit Winkel und Ort =0, x1=x2=0

'''Hinreichende Bedingung für asymptotische Stabilität:'''

Alle Eigenwerte haben negative Realteile

Somit wird die Lösung für die Störung für unendliche Zeit beliebig klein und divergiert nicht. Imaginärteile sind oszillierend und damit irrelevant für die Stabilität. Sie geben an, in welcher Zeit die Annäherung an den Fixpunkt (falls vorhanden) erfolgt.

'''Beispiel für Instabilität: Fixpunkte b)'''

'''Allgemeines System mit n=2:'''

'''Linearisierung'''

:<math>\begin{align}
& \left( \begin{matrix}
\delta {{{\dot{x}}}_{1}} \\
\delta {{{\dot{x}}}_{2}} \\
\end{matrix} \right)=A\left( \begin{matrix}
\delta {{x}_{1}} \\
\delta {{x}_{2}} \\
\end{matrix} \right) \\
& \left( \begin{matrix}
{{a}_{11}} & {{a}_{12}} \\
{{a}_{21}} & {{a}_{22}} \\
\end{matrix} \right):=A \\
\end{align}</math>

Eigenwertgleichung:
:<math>\det (A-\lambda 1)=0\Rightarrow \left| \left( \begin{matrix}
{{a}_{11}}-\lambda & {{a}_{12}} \\
{{a}_{21}} & {{a}_{22}}-\lambda \\
\end{matrix} \right) \right|=\left( {{a}_{11}}-\lambda \right)\left( {{a}_{22}}-\lambda \right)-{{a}_{12}}{{a}_{21}}={{\lambda }^{2}}-\lambda \mathbf{t}rA+\det A=0</math>

Somit:
:<math>{{\lambda }_{1/2}}=\frac{1}{2}\left( trA\pm \sqrt{{{\left( trA \right)}^{2}}-4\det A} \right)</math> mit <math>trA=\sum\limits_{i}{\frac{\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{i}}}=div\bar{F}}</math>

'''Fallunterscheidung'''

====Stabiler Fokus (Strudelpunkt)====

'''detA>0'''

'''trA<0'''

:<math>{{\left( trA \right)}^{2}}<4\det A</math>

:<math>\begin{align}
& {{\lambda }_{1/2}}=-{{\lambda }_{0}}\pm i\omega \\
& {{\lambda }_{0}},\omega >0 \\
\end{align}</math>

Dies ist eine gedämpfte Schwingung im Phasenraum. Die Phasenraumkruve ist eine elliptische Spirale:

====Instabiler Fokus====

'''detA>0'''

'''trA>0'''

:<math>{{\left( trA \right)}^{2}}<4\det A</math>

:<math>\begin{align}
& {{\lambda }_{1/2}}=+{{\lambda }_{0}}\pm i\omega \\
& {{\lambda }_{0}},\omega >0 \\
\end{align}</math>

Dies ist eine entdämpfte Schwingung. Die Phasenraumkurve ist ebenfalls eine elliptische Spirale, die jedoch in positiver Zeitrichtung nach Außen durchlaufen wird. Damit tr A >0 muss dem System von Außen zugeführt werden (Beispiel: "negative Reibung"):

====Stabiler Knoten====

'''detA>0'''

'''trA<0'''

:<math>{{\left( trA \right)}^{2}}>4\det A</math>

:<math>\begin{align}
& {{\lambda }_{1/2}}<0 \\
& {{\lambda }_{1/2}}\in R \\
\end{align}</math>

Dies ist ein exponenzieller Zerfall. Fast alle Trajektorien nähern sich dabei entlang des Eigenvektors, der zum betragsmäßig kleineren Eigenwert gehört. Weil hier das "Kriechen" zum Fixpunkt, also der Zerfall langsamer stattfindet:

====Instabiler Knoten====

'''detA>0'''

'''trA>0'''

:<math>{{\left( trA \right)}^{2}}>4\det A</math>

:<math>\begin{align}
& {{\lambda }_{1/2}}>0 \\
& {{\lambda }_{1/2}}\in R \\
\end{align}</math>

Das System ist exponenziell entdämpft.

====Sattelpunkt====

'''detA>0'''

:<math>\begin{align}
& {{\lambda }_{1}}>0 \\
& {{\lambda }_{2}}<0 \\
& {{\lambda }_{1/2}}\in R \\
\end{align}</math>

That's really tnhiknig out of the box. Thanks!

====Möglichkeit zur asymptotischen Stabilität====

Wegen trA=0 folgt '''Keine asymptotische Stabilität '''möglich.

'''Beweis: '''Asymptotische Stabilität nur, wenn alle
:<math>\begin{align}
& \operatorname{Re}{{\lambda }_{i}}<0 \\
& \Rightarrow trA=\sum\limits_{i}{\operatorname{Re}{{\lambda }_{i}}}+\sum\limits_{i}{\operatorname{Im}{{\lambda }_{i}}} \\
\end{align}</math>

aber:
:<math>\sum\limits_{i}{\operatorname{Im}{{\lambda }_{i}}}</math>
besteht aus komplex konjugierten Paaren, da die Eigenwertgleichung reell ist!

Somit gilt jedoch
:<math>trA=\sum\limits_{i}{\operatorname{Re}{{\lambda }_{i}}}<0</math>,
was ein Widerspruch zur Voraussetzung für asymptotische Stabilität, mit trA=0

====Nicht asymptotisch Stabilität====

'''Nicht asymptotische Stabilität nur wenn '''
:<math>\operatorname{Re}{{\lambda }_{i}}\le 0</math>,
also kein
:<math>\operatorname{Re}{{\lambda }_{i}}>0</math>

Aus genannten Gründen kann dann aber nur
:<math>\operatorname{Re}{{\lambda }_{i}}=0\quad \forall i</math>

Also:
:<math>{{\lambda }_{i}}=\pm i{{\omega }_{i}}</math>

Also: Zentrum, reine Oszillationen, keine Dämpfung oder Unterdämpfung

'''Fall f=1 → n=2'''

In diesem Fall können die Fixpunkte nur Zentren (falls det A > 0 →
:<math>{{\lambda }_{i}}=\pm i{{\omega }_{i}}</math>)
oder Sattelpunkte

(falls detA <0 →
:<math>{{\lambda }_{1}}>0,{{\lambda }_{2}}<0,{{\lambda }_{i}}\in R</math>)
sein!

====Beispiel zur Stabilität====

Touchdown! That's a rlaley cool way of putting it!

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