Kanonische Transformationen

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Wir wissen bereits, dass die Wahl der verallgemeinerten Koordinaten nicht eindeutig ist (Kapitel 2.4: Forminvarianz der Lagrangegleichungen).

Dabei haben wir gesehen, dass die Lagrangegleichungen 2. Art forminvariant bleiben unter beliebigen diffeomorphen Transformationen der Koordinaten:



Dabei gilt dann:



Nun kann man sich fragen, unter welchen Transformationen


die Hamiltonfunktionen forminvariant sind, also:

mit

soll auch

gelten!

Nebenbemerkungen:

  • die Klasse der erlaubten Transformationen muss größer sein als beim Lagrangeformalismus, da jetzt die pk neben den qk als UNABHÄNGIGE Variablen betrachtet werden, die ebenfalls und vor allem völlig unabhängig transformiert werden können.
  • Die neuen Qk und Pk haben unter Umständen gar nicht mehr den Charakter von Orts- und Impulsvariablen.

In den Lagrangegleichungen der 2. Art heißt qj zyklisch, wenn:



Allerdings ist damit keine Aussage über

gemacht. Diese muss natürlich weiter als Variable behandelt werden.

Hamilton-Gleichungen:

In

heißt

zyklisch, wenn



Das bedeutet nun, dass

in H gar nicht auftritt.

kann dagegen durch die Bewegungskonstante


ersetzt werden:



Damit jedoch hat das kanonische System nur noch f-1 Freiheitsgrade.

Idee ist es nun, die Hamiltongleichungen zu lösen, indem man Schritt für Schritt zyklische Variablen durch geeignete Trafos der

einführt, bis alle 

zyklisch sind:


mit



Insgesamt finden sich 2f Konstanten der Bewegung:


k=1,...,f

Als Beispiel (Vergl. Kapitel 3.5) betrachten wir das reduzierte 2-Körper-Problem in der Ebene senkrecht zum Drehimpuls l:



ist zyklisch:


Die Hamiltonschen Gleichungen lauten:





Somit läßt sich die Hamiltonfunktion von f=2 auf f=1 Freiheitsgrade reduzieren:



Definition der kanonischen Transformationen

Kanonische Transformationen sind diffeomorphe Transformationen (umkehrbar eindeutig und zweimal stetig diffbar):


,
die die Hamilton- Gleichungen forminvariant lassen.

Bedingung für eine kanonische Transformation:

Die Hamiltonschen Gleichungen folgen aus dem Hamiltonschen Prinzip:


(Legendre Trafo)

Ganz entsprechend muss für das System

gelten:



Man kann sich leicht überzeugen, dass diese beiden Forderungen äquivalent sind, falls:



Mit einer beliebigen Funktion


,
die "Erzeugende der kanonischen Trafo" genannt wird.

M1 ist dabei eine Verallgemeinerung der Eichfunktion

aus dem Kapitel Eichtrafo der Lagrangefunktion (2.3)

Beweis:


Es folgt dann aus


,
dass



Da aber

und

unabhängige Variablen sind kann obige Gleichung nur für alle denkbaren unabhängigen Variablen erfüllt werden, falls



Das bedeutet jedoch, dass die kanonische Transformation durch

eindeutig bestimmt ist:



Somit kann der Impuls durch die alten Koordinaten Ort,Impuls und zeit ausgedrückt werden und die Abhängigkeit von zeitabhängigkeiten verschwindet. (Der Ausdruck von Q durch q, p und t ist als Umkehrung der Bestimmung von p zu sehen).

Für die gesamte Umkehrtrafo gilt:

liefert


Äquivalenzrelation:

(Legendre Trafo)



Beweis:



Dabei gelten die Relationen:




Außerdem:



Nebenbemerkung: Für die Variation gilt bekanntlich:

.
Jedoch sind p(t1) und p(t2) beliebig. Dadurch können sich nun insbesondere die Randbedingungen  für 

ändern.

Unter Beachtung der obigen relationen gilt nun:



Aus den obigen Relationen ist bekannt:



Gleichzeitig sind jedoch Pi und Qi unabhängig und können demnach unabhängig variiert werden. Das bedeutet, dass

unabhängig sind.

Somit muss jeweils für sich gelten:



und es sind die Hamiltonschen Gleichungen äquivalent in den neuen Koordinaten, was zu beweisen war.

Äquivalente Formen der erzeugenden Funktion

Eine Legendre- Transformation von M1 liefert:


Aus dem vorigen Beweis ist bekannt:



Außerdem gilt:



So dass folgt:



Da dies für beliebige

gilt, kann die Summe nur allgemein identisch sein, wenn gilt:



Analog kann gezeigt werden, dass für



Hier folgt (Übungsaufgabe):


oder



Beispiele für kanonische Transformationen

Erzeugende sei:



Bei dieser Trafo werden also Ort und Impuls vertauscht.

Beispiel 2:



Dies ist also die identische Transformation

That’s not just logic. That’s really senislbe.

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